實(shí)數(shù)教案

1．了解實(shí)數(shù)的概念，能按要求進(jìn)行分類；(重點(diǎn))

2．能利用化簡(jiǎn)對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，即都可用有理數(shù)來(lái)描述，但后來(lái)這個(gè)學(xué)派的一位年輕成員希伯索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或整數(shù)的比來(lái)表示，這就引起了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信徒們的恐慌，為此希伯索斯招來(lái)了殺身之禍，后來(lái)被投入大海．他這一死，使得這一偉大發(fā)現(xiàn)的發(fā)展推遲了500多年，給數(shù)學(xué)的發(fā)展造成了不可彌補(bǔ)的損失．這是怎樣的一個(gè)發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)習(xí)了本節(jié)知識(shí)之后，你就會(huì)知道了．

二、合作探究

探究點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及分類

把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

－，－，，，－，0，－π，－，－4.0，3.1010010001…(相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1)．

有理數(shù)集合：{…}；

無(wú)理數(shù)集合：{…}；

整數(shù)集合：{…}；

分?jǐn)?shù)集合：{…}；

正實(shí)數(shù)集合：{…}；

負(fù)實(shí)數(shù)集合：{…}；

解析：根據(jù)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)等的概念進(jìn)行分類，應(yīng)注意先把一些數(shù)化簡(jiǎn)再進(jìn)行判斷，如－＝2.

解：有理數(shù)集合：{－，，－，0，－，－4.0，…}；

無(wú)理數(shù)集合：{－，，－π，3.1010010001…(相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1)，…}；

整數(shù)集合：{－，0，…}；

分?jǐn)?shù)集合：{－，，－，－4.0，…}；

正實(shí)數(shù)集合：{，，－，3.1010010001…(相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1)，…}；

負(fù)實(shí)數(shù)集合：{－，－，－π，－，－4.0，…}．

方法總結(jié)：至今我們所學(xué)的數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)，因此可先把題目中所列各數(shù)分成這兩類，再?gòu)挠欣頂?shù)中找整數(shù)及分?jǐn)?shù)，這樣可分散難點(diǎn)，逐個(gè)突破，同時(shí)可避免重復(fù)或遺漏．

探究點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的性質(zhì)

分別求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值．

(1)；(2)；(3).

解析：根據(jù)實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值的定義寫(xiě)出相應(yīng)結(jié)果．注意(1)(2)中的兩個(gè)數(shù)要先化簡(jiǎn)為整數(shù)．

解：(1)∵＝－4，∴的相反數(shù)是4，倒數(shù)是－，絕對(duì)值是4.

(2)∵＝15，∴的相反數(shù)是－15，倒數(shù)是，絕對(duì)值是15.

(3)的相反數(shù)是－，倒數(shù)是，絕對(duì)值是.

方法總結(jié)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值等的意義和在有理數(shù)范圍內(nèi)的完全相同．

探究點(diǎn)三：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系

【類型一】求數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)

如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為－1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，求點(diǎn)C所表示的實(shí)數(shù)．

解析：首先結(jié)合數(shù)軸和利用已知條件可以求出線段AB的長(zhǎng)度，然后利用對(duì)稱軸的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C所表示的實(shí)數(shù)．

解：∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為－1和，∴點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為1＋，則點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離為1＋，設(shè)點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)為x，則點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.

方法總結(jié)：本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中利用了：當(dāng)點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離；兩點(diǎn)之間的距離為兩數(shù)差的絕對(duì)值．

【類型二】利用數(shù)軸進(jìn)行估算

如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和5.1，則A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有()

A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)

解析：∵≈1.414，∴和5.1之間的整數(shù)有2，3，4，5，∴A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有4個(gè)．故選C.

方法總結(jié)：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，結(jié)合數(shù)軸分析，可輕松得出結(jié)論．

探究點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的大小比較

已知0

A．x<

C．x2

解析：本題可以用特殊值法求解．例如取x＝，則＝4，x2＝，＝，從而可以比較其大小，<<<4，即x2

方法總結(jié)：當(dāng)直接比較大小較困難時(shí)，我們可以采用特殊值法，所取特殊值必須符合兩個(gè)條件：(1)在字母取值范圍內(nèi)；(2)求值計(jì)算簡(jiǎn)單．而求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的方法與求有理數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的方法是一樣的．

探究點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

計(jì)算：

(1)＋2.34－π(精確到0.1)；

(2)(＋)(－1)(精確到0.01)；

(3)(＋＋).

解析：在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用．

解：(1)＋2.34－π≈2.24＋2.34－3.14≈0.3.