[教學目標]1、 理解并掌握正弦、余弦的含義,會在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。2、能用函數的觀點理解正弦、余弦和正切。[教學重點與難點] 在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值。[教學過程] 一、情景創(chuàng)設1、問題1:如圖,小明沿著某斜坡向上行走了13m后,他的相對位置升高了5m,如果他沿著該斜坡行走了20m,那么他的相對位置升高了多少?行走了a m呢?2、問題2:在上述問題中,他在水平方向又分別前進了多遠?二、探索活動1、思考:從上面的兩個問題可以看出:當直角三角形的一個銳角的大小已確定時,它的對邊與斜邊的比值________;它的鄰邊與斜邊的比值________。(根據是__________________。)2、正弦的定義 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______,記作________,即:sinA=________=________.3、余弦的定義 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______,記作=_________,即:cosA=______=_____。(你能寫出∠B的正弦、余弦的表達式嗎?)試試看.___________.
通常購買同一品種的西瓜時,西瓜的質量越大,花費的錢越多,因此人們希望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假如我們把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均勻的,西瓜的皮厚都是d,已知球的體積公式為V=43πR3(其中R為球的半徑),求:(1)西瓜瓤與整個西瓜的體積各是多少?(2)西瓜瓤與整個西瓜的體積比是多少?(3)買大西瓜合算還是買小西瓜合算?解析:(1)根據體積公式求出即可;(2)根據(1)中的結果得出即可;(3)求出兩體積的比即可.解:(1)西瓜瓤的體積是43π(R-d)3,整個西瓜的體積是43πR3;(2)西瓜瓤與整個西瓜的體積比是43π(R-d)343πR3=(R-d)3R3;(3)由(2)知,西瓜瓤與整個西瓜的體積比是(R-d)3R3<1,故買大西瓜比買小西瓜合算.方法總結:本題能夠根據球的體積,得到兩個物體的體積比即為它們的半徑的立方比是解此題的關鍵.
請寫出 推理過程:∵ ,在兩邊同時加上1得, + = + .兩邊分別通分得: 思考:請仿照上面的方法,證明“如果 ,那么 ”.(3) 等比性質:猜想 ( ),與 相等嗎?能 否證明你的猜想?(引導學生從上述實例中找出證明方法)等比性質:如果 ( ),那么 = .思考:等比性質中,為什么要 這個條件?三、 鞏固練習:1.在相同時刻的物高與影長成比例,如果一建筑在地面上影長為50米,高為1.5米的測竿的影長為2.5米 ,那么,該建筑的高是多少米?2.若 則 3.若 ,則 四、 本課小結:1.比例的基本性質:a:b=c:d ;2. 合比性質:如果 ,那么 ;3. 等比性質:如果 ( ),五、 布置作業(yè):課本習題4.2
一.學習目的和要求:1.對本章內容的認識更全面、更系統(tǒng)化。2.進一步加深對本章基礎知識的理解以及基本技能的掌握,并能靈活運用。二.學習重點和難點:重點:本章基礎知識的歸納、總結;基礎知識的運用;整式的加減運算的靈活運用。難點:本章基礎知識的歸納、總結;基礎知識的運用;整式的加減運算的靈活運用與提高。三.學習方法:歸納,總結 交流、練習 探究 相結合 四.教學目標和教學目標解析:教學目標1 同類項 同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數也分別相等的項,另外所有的常數項都是同類項。例如: 與 是同類項; 與 是同類項。注意:同類項與系數大小無關,與字母的排列順序無關。教學目標2 合并同類項法則 合并同類項法則:把同類項的系數相加,所得結果作為系數,字母和字母的指數保持不變,如: 。
1、如圖,OA、OB是兩條射線,C是OA上一點,D、E是OB上兩點,則圖中共有 條錢段、它們分別是 ;圖中共有 射線,它們分別是 。2、如果線段AB=5cm,BC=3cm,那么A、C兩點間的距離是 3、(1)用度、分、秒表示48.26° (2)用度表示37°28′24″ 4、從3點到5點30分,時鐘的時針轉過了 度。5、一輪船航行到B處測得小島A的方向為北偏西30°,則從A處觀測此B處的方向為( ) A. 南偏東30° B. 東偏北30° C. 南偏東60° D. 東偏北60°6、已知,OA⊥OC,∠AOB∶∠AOC=2∶3,則∠BOC的度數為( )A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 不同于上述答案7、如圖,AO⊥OB,直線CD過點O,且∠BOD=130°,求∠AOD的大小。8、已知:如圖,B、C兩點把線段AD分成2∶4∶3三部分,M是AD的中點,CD=6,求:線段MC的長。9、平面上有n個點(n≥2)且任意三個點不在同一直線上,經過每兩個點畫一條直線,一共可以畫多少條直線?遷移:某足球比賽中有20個球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊之間必須比賽一場),那么一共要進行多少場比賽?
1.理解角的概念,掌握角的表示方法.2.理解平角、周角的概念,掌握角的常用度量單位:度、分、秒,及它們之間的換算關系,并會進行簡單的換算.一、情境導入鐘表是我們生活中常見的物品,同學們,你能說出圖中每個鐘表時針與分針所成的角度嗎?學完了下面的內容,就會知道答案.二、合作探究探究點一:角的概念及其表示方法【類型一】 對角的概念的考查下列關于角的說法中正確的有()①角是由兩條射線組成的圖形;②角的邊越長,角越大;③在角一邊的延長線上取一點;④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:①角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形,錯誤;②角的大小與開口大小有關,角的邊是射線,沒有長短之分,錯誤;③角的邊是射線,不能延長,錯誤;④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形,說法正確.所以只有④正確.故選A.
根據題意,得34%x-18%x=160,解得x=1000.所以48%x=48%×1000=480(公頃),18%x=18%×1000=180(公頃),34%x=34%×1000=340(公頃).答:玉米種了340公頃,高粱種了180公頃,水稻種了480公頃.方法總結:從扇形統(tǒng)計圖中獲取正確的信息是解題的關鍵.語文老師對班上學生的課外閱讀情況做了調查,并請數學老師制作了如圖所示的統(tǒng)計圖.(1)哪種書籍最受歡迎?(2)哪兩種書籍受歡迎程度差不多?(3)圖中扇形分別表示什么?(4)圖中的各個百分比如何得到?所有的百分比之和是多少?解:(1)科幻書籍最受歡迎,可從扇形的大小或圖中百分比的大小得出.(2)科普書籍和武俠書籍受歡迎程度差不多,可從圖中扇形大小或圖中所標百分比的大小得出.(3)圖中扇形分別代表了最喜歡某種書籍的人數占全班人數的百分比.(4)用最喜歡某種書籍的人數比全班的總人數即可得各個百分比,所有的百分比之和為1.方法總結:由扇形統(tǒng)計圖獲取信息時,一定要明確各個項目和它們所占圓面的百分比.
【類型一】 逆用積的乘方進行簡便運算計算:(23)2014×(32)2015.解析:將(32)2015轉化為(32)2014×32,再逆用積的乘方公式進行計算.解:原式=(23)2014×(32)2014×32=(23×32)2014×32=32.方法總結:對公式an·bn=(ab)n要靈活運用,對于不符合公式的形式,要通過恒等變形轉化為公式的形式,運用此公式可進行簡便運算.【類型二】 逆用積的乘方比較數的大小試比較大?。?13×310與210×312.解:∵213×310=23×(2×3)10,210×312=32×(2×3)10,又∵23<32,∴213×310<210×312.方法總結:利用積的乘方,轉化成同底數的同指數冪是解答此類問題的關鍵.三、板書設計1.積的乘方法則:積的乘方等于各因式乘方的積.即(ab)n=anbn(n是正整數).2.積的乘方的運用在本節(jié)的教學過程中教師可以采用與前面相同的方式展開教學.教師在講解積的乘方公式的應用時,再補充講解積的乘方公式的逆運算:an·bn=(ab)n,同時教師為了提高學生的運算速度和應用能力,也可以補充講解:當n為奇數時,(-a)n=-an(n為正整數);當n為偶數時,(-a)n=an(n為正整數)
第五環(huán)節(jié):課堂小結內容:師生相互交流總結解二元一次方程組的基本思路是“消元”,即把“二元”變?yōu)椤耙辉保?解二元一次方程組的第一種解法——代入消元法,其主要步驟是:將其中的一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來,并代入另一個方程中,從而消去一個未知數,化二元一次方程組為一元一次方程.解這個一元一次方程,便可得到一個未知數的值,再將所求未知數的值代入變形后的方程,便求出了一對未知數的值.即求得了方程組的解.目的:鼓勵學生通過本節(jié)課的學習,談談自己的收獲與感受,加深對 “溫故而知新” 的體會,知道“學而時習之”.設計效果:學生能夠在課堂上暢所欲言,并通過自己的歸納總結,進一步鞏固了所學知識.第六環(huán)節(jié):布置作業(yè)課本習題5.2教學設計反思1.引入自然.二元一次方程組的解法是學習二元一次方程組的重要內容.教材通過上一小節(jié)的實際問題,比較一元一次方程的列法和解法,從而自然引入二元一次方程組的代入消元解法.
在探究估算方法的時候,教師要注重適時的引導,以免讓學生無從下手.在教學過程中一定要讓學生體會估算的實用價值,了解到“數學既來源與生活,又回歸到生活為生活服務”.(二)課堂評價的一些思考在教學中要多鼓勵學生用自己的語言表達他們的想法,在估算的過程中多給予適當的引導和評價,讓學生逐步把握估算的方法,找到解決問題的信心.比如對“畫能掛上去嗎”這個問題情境,學生可能提出不同的看法,有些學生可能認為可以掛上去,因為人還有身高,完全可以彌補梯子穩(wěn)定擺放的高度和掛畫位置的高度之間的差距,有些學生可能認為,人不可能爬到梯子的頂部,加上人如果本來比較矮,畫就不能掛上去等等想法,教師都應該給予肯定,這樣才能激發(fā)學生思考問題的熱情,調動學生探究問題的積極性.作為教師,一定要尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要,鼓勵探究方式、表達方式和解題方法的多樣化.
方法總結:本題考查了冪的乘方的逆用及同底數冪的乘法,整體代入求解也比較關鍵.【類型三】 逆用冪的乘方結合方程思想求值已知221=8y+1,9y=3x-9,則代數式13x+12y的值為________.解析:由221=8y+1,9y=3x-9得221=23(y+1),32y=3x-9,則21=3(y+1),2y=x-9,解得x=21,y=6,故代數式13x+12y=7+3=10.故答案為10.方法總結:根據冪的乘方的逆運算進行轉化得到x和y的方程組,求出x、y,再計算代數式.三、板書設計1.冪的乘方法則:冪的乘方,底數不變,指數相乘.即(am)n=amn(m,n都是正整數).2.冪的乘方的運用冪的乘方公式的探究方式和前節(jié)類似,因此在教學中可以利用該優(yōu)勢展開教學,在探究過程中可以進一步發(fā)揮學生的主動性,盡可能地讓學生在已有知識的基礎上,通過自主探究,獲得冪的乘方運算的感性認識,進而理解運算法則
解析:平行線中的拐點問題,通常需過拐點作平行線.解:(1)∠AED=∠BAE+∠CDE.理由如下:過點E作EG∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥EG∥CD,∴∠AEG=∠BAE,∠DEG=∠CDE.∵∠AED=∠AEG+∠DEG,∴∠AED=∠BAE+∠CDE;(2)同(1)可得∠AFD=∠BAF+∠CDF.∵∠BAF=2∠EAF,∠CDF=2∠EDF,∴∠BAE+∠CDE=32∠BAF+32∠CDF,∴∠AED=32∠AFD.方法總結:無論平行線中的何種問題,都可轉化到基本模型中去解決,把復雜的問題分解到簡單模型中,問題便迎刃而解.三、板書設計平行線的性質:性質1:兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;性質2:兩條平行線被第三條直線所截,內錯角相等;性質3:兩條平行線被第三條直線所截,同旁內角互補.平行線的性質是幾何證明的基礎,教學中注意基本的推理格式的書寫,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,鼓勵學生勇于嘗試.在課堂上,力求體現學生的主體地位,把課堂交給學生,讓學生在動口、動手、動腦中學數學
解析:橫軸表示時間,縱軸表示溫度.溫度最高應找到圖象的最高點所對應的x值,即15時,A對;溫度最低應找到圖象的最低點所對應的x值,即3時,B對;這天最高溫度與最低溫度的差應讓前面的兩個y值相減,即38-22=16(℃),C錯;從圖象看出,這天0~3時,15~24時溫度在下降,D對.故選C.方法總結:認真觀察圖象,弄清楚時間是自變量,溫度是因變量,然后由圖象上的點確定自變量及因變量的對應值.三、板書設計1.用曲線型圖象表示變量間關系2.從曲線型圖象中獲取變量信息圖象法能直觀形象地表示因變量隨自變量變化的變化趨勢,可通過圖象來研究變量的某些性質,這也是數形結合的優(yōu)點,但是它也存在感性觀察不夠準確,畫面局限性大的缺點.教學中讓學生自己歸納總結,回顧反思,將知識點串連起來,完成對該部分內容的完整認識和意義建構.這對學生在實際情境中根據不同需要選擇恰當的方法表示變量間的關系,發(fā)展與深化思維能力是大有裨益的
解析:根據“全等三角形的對應角相等”,可知∠EAD=∠CAB,故∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB中利用三角形內角和定理來求∠ACB的度數.解:∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠CAD=10°,∴∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,∴∠CAB=55°.∵∠B=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°-25°=100°.方法總結:本題將三角形內角和與全等三角形的性質綜合考查,解答問題時要將所求的角與已知角通過全等及三角形內角之間的關系聯系起來.三、板書設計1.全等形與全等三角形的概念:能夠完全重合的圖形叫做全等形;能夠完全重合的三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質:全等三角形的對應角、對應線段相等.首先展示全等形的圖片,激發(fā)學生興趣,從圖中總結全等形和全等三角形的概念.最后總結全等三角形的性質,通過練習來理解全等三角形的性質并滲透符號語言推理.通過實例熟悉運用全等三角形的性質解決一些簡單的實際問題
解析:(1)根據圖象的縱坐標,可得比賽的路程.根據圖象的橫坐標,可得比賽的結果;(2)根據乙加速后行駛的路程除以加速后的時間,可得答案.解:(1)由縱坐標看出,這次龍舟賽的全程是1000米;由橫坐標看出,乙隊先到達終點;(2)由圖象看出,相遇是在乙加速后,加速后的路程是1000-400=600(米),加速后用的時間是3.8-2.2=1.6(分鐘),乙與甲相遇時乙的速度600÷1.6=375(米/分鐘).方法總結:解決雙圖象問題時,正確識別圖象,弄清楚兩圖象所代表的意義,從中挖掘有用的信息,明確實際意義.三、板書設計1.用折線型圖象表示變量間關系2.根據折線型圖象獲取信息解決問題經歷一般規(guī)律的探索過程,培養(yǎng)學生的抽象思維能力,經歷從實際問題中得到關系式這一過程,提升學生的數學應用能力,使學生在探索過程中體驗成功的喜悅,樹立學習的自信心.體驗生活中數學的應用價值,感受數學與人類生活的密切聯系,激發(fā)學生學數學、用數學的興趣
方法總結:判斷軸對稱的條數,仍然是根據定義進行判斷,判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,注意不要遺漏.探究點二:兩個圖形成軸對稱如圖所示,哪一組的右邊圖形與左邊圖形成軸對稱?解析:根據軸對稱的意義,經過翻折,看兩個圖形能否完全重合,若能重合,則兩個圖形成軸對稱.解:(4)(5)(6).方法總結:動手操作或結合軸對稱的概念展開想象,在腦海中嘗試完成一個動態(tài)的折疊過程,從而得到結論.三、板書設計1.軸對稱圖形的定義2.對稱軸3.兩個圖形成軸對稱這節(jié)課充分利用多媒體教學,給學生以直觀指導,主動向學生質疑,促使學生思考與發(fā)現,形成認識,獨立獲取知識和技能.另外,借助多媒體教學給學生創(chuàng)設寬松的學習氛圍,使學生在學習中始終保持興奮、愉悅、渴求思索的心理狀態(tài),有利于學生主體性的發(fā)揮和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)
【類型三】 已知方程組的解,用代入法求待定系數的值 已知x=2,y=1是二元一次方程組ax+by=7,ax-by=1的解,則a-b的值為()A.1 B.-1 C.2 D.3解析:把解代入原方程組得2a+b=7,2a-b=1,解得a=2,b=3,所以a-b=-1.故選B.方法總結:解這類題就是根據方程組解的定義求,即將解代入方程組,得到關于字母系數的方程組,解方程組即可.三、板書設計解二元一,次方程組)基本思路是“消元”代入法解二元一次方程組的一般步驟回顧一元一次方程的解法,借此探索二元一次方程組的解法,使得學生的探究有很好的認知基礎,探究顯得十分自然流暢.充分體現了轉化與化歸思想.引導學生充分思考和體驗轉化與化歸思想,增強學生的觀察歸納能力,提高學生的學習能力.
1.細講概念、強化訓練要想讓學生正確、牢固地樹立起算術平方根的概念,需要由淺入深、不斷深化的過程.概念是由具體到抽象、由特殊到一般,經過分析、綜合去掉非本質特征,保持本質屬性而形成的.概念的形成過程也是思維過程,加強概念形成過程的教學,對提高學生的思維水平是很有必要的.概念教學過程中要做到:講清概念,加強訓練,逐步深化.“講清概念”就是通過具體實例揭露算術平方根的本質特征.算術平方根的本質特征就是定義中指出的:“如果一個正數 的平方等于 ,即 ,那么這個正數 就叫做 的算術平方根,”的“正數 ”,即被開方數是正的,由平方的意義, 也是正數,因此算術平方根也必須是正的.當然零的算術平方根是零.
第一環(huán)節(jié)感受生活中的情境,導入新課通過若干圖片,引導學生感受生活中常常需要確定位置.導入新課:怎樣確定位置呢?——§3.1確定位置。第二環(huán)節(jié)分類討論,探索新知1.溫故啟新(1)溫故:在數軸上,確定一個點的位置需要幾個數據呢? 答:一個,例如,若A點表示-2,B點表示3,則由-2和3就可以在數軸上找到A點和B點的位置??偨Y得出結論:在直線上, 確定一個點的位置一般需要一個數據.(2)啟新:在平面內,又如何確定一個點的位置呢?請同學們根據生活中確定位置的實例,請談談自己的看法.2.舉例探究Ⅰ. 探究1(1)在電影院內如何找到電影票上指定的位置?(2)在電影票上“6排3號”與“3排6號”中的“6”的含義有什么不同?(3)如果將“6排3號”簡記作(6,3),那么“3排6號”如何表示?(5,6)表示什么含義? (4) 在只有一層的電影院內,確定一個座位一般需要幾個數據?結論:生活中常常用“排數”和“號數”來確定位置. Ⅱ. 學有所用(1) 你能用兩個數據表示你現在所坐的位置嗎?
在因式分解的幾種方法中,提取公因式法師最基本的的方法,學生也很容易掌握。但在一些綜合運用的題目中,學生總會易忘記先觀察是否有公因式,而直接想著運用公式法分解。這樣直接導致有些題目分解錯誤,有些題目分解不完全。所以在因式分解的步驟這一塊還要繼續(xù)加強。其實公式法分解因式。學生比較會將平方差和完全平方式混淆。這是對公式理解不透徹,彼此的特征區(qū)別還未真正掌握好。大體上可以從以下方面進行區(qū)分。如果是兩項的平方差則在提取公因式后優(yōu)先考慮平方差公式。如果是三項則優(yōu)先考慮完全平方式進行因式分解。培養(yǎng)學生的整體觀念,靈活運用公式的能力。注重總結做題步驟。這章節(jié)知識看起來很簡單,但操作性很強的,相同或者相似的式子比較熟悉而需要轉化的或者多種公式混合使用的式子就難以入手,基礎不好的學生需要手把手的教,因此,應該引導學生總結多項式因式分解的一般步驟①如果多項式的各項有公因式,那么先提公因式;
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