正方形的判定教案

1．掌握正方形的判定方法；(重點)

2．會運用正方形的判定條件進行有關(guān)的論證和計算．(難點)

一、情景導入

我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請?zhí)钊胂聢D中．

課件教案

通過填寫讓學生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，還是特殊的平行四邊形；而正方形、矩形、菱形都是平行四邊形；矩形、菱形都是特殊的平行四邊形．

1．怎樣判斷一個四邊形是矩形？

2．怎樣判斷一個四邊形是菱形？

3．怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？

4．怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？

議一議：你有什么方法判定一個四邊形是正方形？

二、合作探究

探究點一：正方形的判定

【類型一】先證明是矩形再證明是正方形

已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠BAC，∠ABC的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形．

解析：欲證明四邊形CEDF是正方形，先根據(jù)∠C＝90，DE⊥BC，DF⊥AC，證明四邊形CEDF是矩形，再證明一組鄰邊相等即可．

證明：如圖所示，過點D作DG⊥AB于點G.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC＝∠DEC＝90.

又∠C＝90，

∴四邊形CEDF是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)．

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG.

同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.

∴四邊形CEDF是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)．

方法總結(jié)：正方形的判定方法有很多，可以先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等．

【類型二】先證明是菱形再證明是正方形

如圖，EG，F(xiàn)H過正方形ABCD的對角線的交點O，且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形．

解析：已知EG⊥FH，要證四邊形EFGH為正方形，則只需要證四邊形的對角線EG，HF互相平分且相等即可，根據(jù)題意可通過三角形全等來證OE＝OH＝OG＝OF.

證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45，∠BOC＝90＝∠COH＋∠BOH.

∵EG⊥FH，

∴∠BOE＋∠BOH＝90，

∴∠COH＝∠BOE，

∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.

同理可證：OE＝OF＝OG，

∴OE＝OF＝OG＝OH.

又∵EG⊥FH，

∴四邊形EFGH為菱形．

∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，

∴四邊形EFGH為正方形．

方法總結(jié)：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．

探究點二：正方形、菱形、矩形與平行四邊形之間的關(guān)系

填空：

(1)對角線________________的四邊形是矩形；

(2)對角線____________的平行四邊形是矩形；

(3)對角線__________的平行四邊形是正方形；

(4)對角線________________的矩形是正方形；

(5)對角線________________的菱形是正方形．

解：(1)相等且互相平分(2)相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等

方法總結(jié)：從對角線上分析特殊四邊形之間的關(guān)系應充分考慮特殊四邊形的性質(zhì)與判別，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四邊形，且是特殊的平行四邊形，特殊之處在于：矩形是有一個角為直角的平行四邊形；菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形；而正方形是兼具兩者特性的更特殊的平行四邊形，它既是矩形，又是菱形．