正弦與余弦教案

1．理解正弦與余弦的概念；(重點)

2．能用正弦、余弦的知識，根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點)

一、情境導入

如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.

如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？

在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？

課件教案

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，當直角三角形的一個銳角的大小確定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．

二、合作探究

探究點：正弦和余弦

【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值

在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.

解析：利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義計算即可．

解：由勾股定理得AC＝＝＝12，sinA＝＝，cosA＝＝.

方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

【類型二】已知一個三角函數(shù)值求另一個三角函數(shù)值

如圖，在△ABC中，∠C＝90，點D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．

解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角函數(shù)的定義解答．

解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ .

方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題

【類型三】比較三角函數(shù)的大小

sin70，cos70，tan70的大小關(guān)系是()

A．tan70＜cos70＜sin70

B．cos70＜tan70＜sin70

C．sin70＜cos70＜tan70

D．cos70＜sin70＜tan70

解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70＜1，cos70＜1，tan70＞1.又cos70＝sin20，銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70＞sin20＝cos70.故選D.

方法總結(jié)：當角度在0<∠A<90間變化時，0cosA>0.當角度在45＜∠A＜90間變化時，tanA＞1.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第10題

【類型四】與三角函數(shù)有關(guān)的探究性問題

在Rt△ABC中，∠C＝90，D為BC邊(除端點外)上的一點，設(shè)∠ADC＝α，∠B＝β.

(1)猜想sinα與sinβ的大小關(guān)系；

(2)試證明你的結(jié)論．

解析：(1)因為在△ABD中，∠ADC為△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sinα，sinβ的關(guān)系式即可得出結(jié)論．

解：(1)猜想：sinα＞sinβ；

(2)∵∠C＝90，∴sinα＝，sinβ＝ .∵AD＜AB，∴＞，即sinα＞sinβ.

方法總結(jié)：利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進行比較是解題的關(guān)鍵．

【類型五】三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.

(1)求證：AC＝BD；

(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的長．

解析：(1)根據(jù)高的定義得到∠ADB＝∠ADC＝90，再分別利用正切和余弦的定義得到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sinC＝＝，可設(shè)AD＝12k，AC＝13k，再根據(jù)勾股定理計算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.