函數的概念教學設計（2）

函數在高中數學中占有很重要的比重，因而作為函數的第一節(jié)內容，主要從三個實例出發(fā)，引出函數的概念.從而就函數概念的分析判斷函數，求定義域和函數值，再結合三要素判斷函數相等.

課程目標

1.理解函數的定義、函數的定義域、值域及對應法則。

2.掌握判定函數和函數相等的方法。

3.學會求函數的定義域與函數值。

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：通過教材中四個實例總結函數定義；

2.邏輯推理：相等函數的判斷；

3.數學運算：求函數定義域和求函數值；

4.數據分析：運用分離常數法和換元法求值域；

5.數學建模：通過從實際問題中抽象概括出函數概念的活動，培養(yǎng)學生從“特殊到一般”的分析問題的能力，提高學生的抽象概括能力。

重點：函數的概念，函數的三要素。

難點：函數概念及符號y=f(x)的理解。

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

初中已經學過：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，那么在初中函數是怎樣定義的？高中又是怎樣定義？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本60-65頁，思考并完成以下問題

1. 在集合的觀點下函數是如何定義？函數有哪三要素？

2. 如何用區(qū)間表示數集？

3. 相等函數是指什么樣的函數？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1．函數的概念

(1)函數的定義：

設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任何一個屬x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)x.

(2)函數的定義域與值域：

函數y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集．

2．區(qū)間概念(a，b為實數，且a＜b)

3．其它區(qū)間的表示

四、典例分析、舉一反三

題型一 函數的定義

例1下列選項中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數的是( )

【答案】D

解題技巧：（判斷是否為函數）

1.（圖形判斷）y是x的函數,則函數圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上的交點,則不符合函數的定義,所對應圖象不是函數圖象.

2.（對應關系判斷）對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數關系；“一對多”的不是函數關系.

跟蹤訓練一

1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數的是( )

【答案】C

題型二 相等函數

例2 試判斷以下各組函數是否表示同一函數:

(1)f(x)=()2,g(x)=;

(2)y=x0與y=1(x≠0);

(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z).

【答案】見解析

【解析】:(1)因為函數f(x)=()2的定義域為{x|x≥0},而g(x)=的定義域為{x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數.

(2)因為y=x0要求x≠0,且當x≠0時,y=x0=1,故y=x0與y=1(x≠0)的定義域和對應關系都相同,所以

它們表示同一函數.

(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)兩個函數的定義域相同,但對應關系不相同,故它們不表示同一函數.

解題技巧：(判斷函數相等的方法)

定義域優(yōu)先原則

1.先看定義域，若定義域不同，則函數不相等.

2.若定義域相同，則化簡函數解析式，看對應關系是否相等.

跟蹤訓練二

1.試判斷以下各組函數是否表示同一函數:①f(x)=,g(x)=x-1;

②f(x)=,g(x)=;

③f(x)=,g(x)=x+3;

④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;

⑤汽車勻速運動時,路程與時間的函數關系f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數g(x)=80x(0≤x≤5).

其中表示相等函數的是 (填上所有正確的序號).

【答案】⑤

【解析】①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數;

②f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數;

③f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數;

④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數;

⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對應關系皆相同,是同一函數.

題型三 區(qū)間

例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則A∩B用區(qū)間可表示為 .

【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]

【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.

∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠3}.

∴A∩B={x|x<-3或-3

即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].

解題技巧：（如何用區(qū)間表示集合）

1.正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區(qū)別.

2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補集運算時,應先求出相應集合,再用區(qū)間表示.

跟蹤訓練三

1.集合{x|0

2. 若集合A=[2a-1,a+2],則實數a的取值范圍用區(qū)間表示為 .

【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)

【解析】 (2)由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a

∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1

∴實數a的取值范圍是(-∞,3).

題型四 求函數的定義域

例4求下列函數的定義域:

(1)y=; (2)f(x)=.

【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]

【解析】(1)要使函數有意義,自變量x的取值必須滿足解得x<0,且x≠-2.

故原函數的定義域為(-∞,-2)∪(-2,0).

(2)要使函數有意義,自變量x的取值必須滿足

故原函數的定義域為(-∞,1)∪(1,4].

解題方法（求函數定義域的注意事項）

(1)如果函數f(x)是整式,那么函數的定義域是實數集R;

(2)如果函數f(x)是分式,那么函數的定義域是使分母不等于零的實數組成的集合;

(3)如果函數f(x)是二次根式,那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數組成的集合;

(4)如果函數f(x)是由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成的,那么函數的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).

跟蹤訓練四

1.求函數y=的定義域.

2.已知函數f(x)的定義域是[-1,4],求函數f(2x+1)的定義域.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)要使函數有意義,需

解得-≤x<2,且x≠0,所以函數y=的定義域為.

(2)已知f(x)的定義域是[-1,4],即-1≤x≤4.

故對于f(2x+1)應有-1≤2x+1≤4,

∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤.

∴函數f(2x+1)的定義域是.

題型五 求函數值（域）

例5(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f(2)＝________，

f(g(2))＝________.

(2)求下列函數的值域：

①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝； ④y＝2x－.

【答案】（1） （2）① R ② [2,6) ③ {y|y∈R且y≠3} ④

【解析】(1) ∵f (x)＝，∴f(2)＝＝.

又∵g (x)＝x2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，

∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.

(2) ①(觀察法)因為x∈R，所以x＋1∈R，即函數值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結合函數的圖象(如圖)，可得函數的值域為[2,6)．

③(分離常數法)y＝＝＝3－.

∵≠0，∴y≠3，

∴y＝的值域為{y|y∈R且y≠3}．

④(換元法)設t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再結合函數的圖象(如圖)，可得函數的值域為.