奇偶性教學設計（2）

《奇偶性》內(nèi)容選自人教版A版第一冊第三章第三節(jié)第二課時;函數(shù)奇偶性是研究函數(shù)的一個重要策略,因此奇偶性成為函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的研究也為今后指對函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等后續(xù)內(nèi)容的深入起著鋪墊的作用.

課程目標

1、理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；

2、學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

3、學會判斷函數(shù)的奇偶性．

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：用數(shù)學語言表示函數(shù)奇偶性；

2.邏輯推理：證明函數(shù)奇偶性；

3.數(shù)學運算：運用函數(shù)奇偶性求參數(shù)；

4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像求奇偶函數(shù)；

5.數(shù)學建模：在具體問題情境中，運用數(shù)形結(jié)合思想，利用奇偶性解決實際問題。

重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷；

難點：函數(shù)奇偶性概念的探究與理解．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

前面我們用符號語言準確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì).下面繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì).

畫出并觀察函數(shù)的圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖像

有什么共同特征碼？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本82-84頁，思考并完成以下問題

1.偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念是什么？

2.奇偶函數(shù)各自的特點是？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1．奇函數(shù)、偶函數(shù)

（1）偶函數(shù)（even function）

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（2）奇函數(shù)（odd function）

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

2、奇偶函數(shù)的特點

（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域具有對稱性，即關于坐標原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域關于坐標原點不對稱，就不具有奇偶性．因此定義域關于原點對稱是函數(shù)存在奇偶性的一個必要條件。

（2）具有奇偶性的函數(shù)的圖象具有對稱性．偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖象關于軸對稱，那么，這個函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，那么，這個函數(shù)是奇函數(shù)．

（3）由于奇函數(shù)和偶函數(shù)的對稱性質(zhì)，我們在研究函數(shù)時，只要知道一半定義域上的圖象和性質(zhì)，就可以得到另一半定義域上的圖象和性質(zhì)．

（4）偶函數(shù)： ,

奇函數(shù)： ；

（5）根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

（6）已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有定義，則f(0)=0。

四、典例分析、舉一反三

題型一 判斷函數(shù)奇偶性

例1（課本P84例6）：判斷下列函數(shù)的奇偶性

（1） （2） （3） （4）

【答案】(1)f(x)為偶函數(shù) (2)f(x)為偶函數(shù)

(3)f(x)為奇函數(shù) (4)f(x)為偶函數(shù)

【解析】

(1) 的定義域為R，關于原點對稱。且

所以 為偶函數(shù).

(2) 的定義域為R，關于原點對稱。且 所以 為偶函數(shù).

（3） 的定義域為 ，關于原點對稱.

且 所以 為奇函數(shù).

（4） 的定義域為 ，關于原點對稱.且 所以 為偶函數(shù).

解題技巧：（利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：）

1.定義法

（1）. 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

（2）. 確定f(－x)與f(x)的關系；

（3）.作出相應結(jié)論：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)．

2.圖像法

跟蹤訓練一

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝ ＋ ；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

【答案】(1)f(x)為偶函數(shù) (2)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

(3)f(x)是非奇非偶函數(shù) (4)f(x)為偶函數(shù)

【解析】 (1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R，關于原點對稱，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)為偶函數(shù)．

(2)∵函數(shù)f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，且f(x)＝0，

又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

(3)∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，

∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．

(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．

當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．

題型二 利用函數(shù)的奇偶性求解析式

例2 已知f(x)為R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=-2+3x+1,

(1)求f(-1);

(2)求f(x)的解析式.

【答案】(1)-2 (2)f(x)=

【解析】(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.

(2)當x<0時,-x>0,則

f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1.

由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),

所以f(x)=2+3x-1.當x=0時,f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.

所以f(x)的解析式為f(x)=

解題技巧：(求函數(shù)解析式的注意事項）)

1.已知當x∈(a,b)時,f(x)=φ(x),求當x∈(-b,-a)時f(x)的解析式.

若f(x)為奇函數(shù),則當x∈(-b,-a)時,

f(x)=-f(-x)=-φ(-x);

若f(x)為偶函數(shù),則當x∈(-b,-a)時,

f(x)=f(-x)=φ(-x).

2.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.

跟蹤訓練二

1.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

【答案】f(x)＝

【解析】當x＜0時，－x＞0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝－x2－2x－3.

即當x＜0時，f(x)＝－x2－2x－3.

故f(x)＝

題型三 利用函數(shù)的奇偶性求參

例3 (1)若函數(shù)f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，b＝________；