空間向量及其運算的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示
B.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示
C.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用
D.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題

1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量運算的坐標(biāo)表示

2.邏輯推理：空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用；

3.數(shù)學(xué)運算：運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題；

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點是排除了數(shù)量關(guān)系,對于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….”

吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運算.

二、探究新知

一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示

1.空間直角坐標(biāo)系

在空間選定一點O和一個單位正交基底a,以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點,i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時,一般使∠xOy=135(或45),∠yOz=90.三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分.

2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.

2.點的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對空間任意一點A,對應(yīng)一個向量,且點A的位置由向量唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使=xi+yj+zk.在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點A的橫坐標(biāo),y叫做點A的縱坐標(biāo),z叫做點A的豎坐標(biāo).

3.向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作a=(x,y,z).

小試牛刀

1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個單位正交基底,則a的坐標(biāo)為 .

(3,2,-1)

答案:向量的坐標(biāo)恰好是終點P的坐標(biāo),這就實現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.

思考：在空間直角坐標(biāo)系中,向量的坐標(biāo)與終點P的坐標(biāo)有何關(guān)系?

二、空間向量運算的坐標(biāo)表示

1.空間向量的坐標(biāo)運算法則

設(shè)向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),λ∈R,那么

(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃) ;(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃) ;(λa₁,λa₂,λa₃) ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

2.空間向量的坐標(biāo)與其端點坐標(biāo)的關(guān)系:

設(shè)A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂),則=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁).

即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).

3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),則

(1)當(dāng)b≠0時,a∥b?a=λb? (λ∈R);

(2)a⊥b? ? .

a₁=λb₁,a₂=λb₂,a₃=λb₃ ;ab=0 ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

點睛：當(dāng)b的坐標(biāo)中b₁,b₂,b₃都不等于0時,a與b平行的條件還可以表示為a∥b?

4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),則

(1)|a|== ;

(2)cos<a,b>== ;

(3)若P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),則P₁,P₂兩點間的距離為||= .

小試牛刀

1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n= ?,3m-n= ?,(2m)(-3n)= .

(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168

解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),

(2m)(-3n)=(2,-6,10)(6,-6,12)=168.

2.已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ= ,若a⊥b,則 λ= .

4 ;-

解析:若a∥b,則有,解得λ=4.若a⊥b,則ab=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-.

3.已知a=(-,2,),b=(3,6,0),則|a|=,a與b夾角的余弦值等于 .

答案:3

解析:|a|==3,a與b夾角的余弦值cos<a,b>=.

例1在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA₁=4,D為A₁B₁的中點,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求的坐標(biāo).

思路分析先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量基本定理,將用基底表示,即得坐標(biāo).

解:由已知AO⊥OB,O₁O⊥OA,O₁O⊥OB,從而建立以方向上的單位向量i,j,k為正交基底的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖,則=4i,=2j,=4k,=-2i-j-4k,故的坐標(biāo)為(-2,-1,-4).

-()==-4i+2j-4k,

故的坐標(biāo)為(-4,2,-4).

即=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4).

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:

跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分別為D₁C₁,B₁C₁的中點,若以{}為基底,則向量的坐標(biāo)為 ,向量的坐標(biāo)為 ,向量的坐標(biāo)為.

(1,1,1)

解析:因為,所以向量的坐標(biāo)為.

因為,

所以向量的坐標(biāo)為.

因為,所以向量的坐標(biāo)為(1,1,1).

例2已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).

(1)求-2;

(2)若點M滿足,求點M的坐標(biāo);

(3)若p=,q=,求(p+q)(p-q).

思路分析先由點的坐標(biāo)求出各個向量的坐標(biāo),再按照空間向量運算的坐標(biāo)運算法則進(jìn)行計算求解.

解:(1)因為A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以=(-3,5,-4),=(-1,0,9).

所以=(-4,5,5)，又=(-4,5,5),=(3,-5,4),

所以-2=(-10,15,-3)，又=(-3,5,-4),=(1,0,-9),

所以=-3+0+36=33.

(2)由(1)知,(-3,5,-4)+(1,0,-9)=,

若設(shè)M(x,y,z),則=(x-1,y+2,z-4),

于是解得故M.

(3)由(1)知,p==(-1,0,9),q==(-4,5,5).

(方法1)(p+q)(p-q)=|p|²-|q|²=82-66=16.

(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.

空間向量的坐標(biāo)運算注意以下幾點:

(1)一個向量的坐標(biāo)等于這個向量的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).

(2)空間向量的坐標(biāo)運算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運算,牢記運算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.

(3)運用公式可以簡化運算:(a b)²=a²2ab+b²; (a+b)(a-b)=a²-b².

跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5).

(1)求頂點B,C的坐標(biāo);

(2)求;

(3)若點P在AC上,且,求點P的坐標(biāo).

解:(1)設(shè)B(x,y,z),C(x₁,y₁,z₁),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x₁-x,y₁-y,z₁-z).

因為=(4,1,2),所以解得所以點B的坐標(biāo)為(6,-4,5).

因為=(3,-2,5),所以解得所以點C的坐標(biāo)為(9,-6,10).

(2)因為=(-7,1,-7),=(3,-2,5),所以=-21-2-35=-58.

(3)設(shè)P(x₂,y₂,z₂),則=(x₂-2,y₂+5,z₂-3),=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),于是有(x₂-2,y₂+5,z₂-3)=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),

所以解得故點P的坐標(biāo)為

例3已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=,b=

(1)若|c|=3,c∥,求c;

(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.

思路分析(1)根據(jù)c∥,設(shè)c=λ,則向量c的坐標(biāo)可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;

(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.

解:(1)∵=(-2,-1,2)且c∥,∴設(shè)c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).

∴|c|==3|λ|=3,解得λ=1.

∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).

∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)(ka-2b)=0,

即(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k²+k-10=0,解得k=2或k=-.

向量平行與垂直問題主要題型

(1)平行與垂直的判斷;

(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運算的目的.

跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).

(1)若a∥b,分別求λ與m的值;

(2)若|a|=,且與c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.

解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),

∴解得∴λ=,m=3.

(2)∵|a|=,且a⊥c,∴化簡,得解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).

例4如圖,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA₁=2,M,N分別是AA₁,CB₁的中點.

(1)求BM,BN的長.

(2)求△BMN的面積.

思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點的坐標(biāo),從而得的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長度.對于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計算.

解:以C為原點,以CA,CB,CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

則B(0,1,0),M(1,0,1),N.

反思感悟向量夾角與模的計算方法

利用坐標(biāo)運算解空間向量夾角與長度的計算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計算公式進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分別為A₁D₁,BB₁的中點,則cos∠EAF= ,EF= .

解析:以A為原點,AB,AD,AA₁分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長為1,則

E,F,∴,

∴cos<>=,∴cos∠EAF=,EF=||=

一題多變——空間向量的平行與垂直

典例在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點E是棱D₁D的中點,點P,Q分別為線段B₁D₁,BD上的點,且3,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值.

解:如圖所示,以點D為原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則A(1,0,0),

E0,0,,B(1,1,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1),

由題意,可設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a,1),

因為3,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),

所以3a-3=-a,解得a=,所以點P的坐標(biāo)為,1.

由題意可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(b,b,0),

因為PQ⊥AE,所以=0,所以(b-,b-,-1)(-1,0,)=0,

即-(b-)-=0,解得b=,所以點Q的坐標(biāo)為(,0),

因為=λ,所以(-1,-1,0)=λ(,0),所以=-1,故λ=-4.

延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B₁Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?

解:以點D為原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,點Q的坐標(biāo)為(c,c,0),因為B₁Q⊥EQ,所以=0,

所以(c-1,c-1,-1)c,c,-=0,即c(c-1)+c(c-1)+=0,4c²-4c+1=0,

解得c=,所以點Q的坐標(biāo)為,0,

所以點Q是線段BD的中點,所以=-2,故λ=-2.

延伸探究2本例中若點G是A₁D的中點,點H在平面xOy上,且GH∥BD₁,試判斷點H的位置.

解:以點D為原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,因為點G是A₁D的中點,所以點G的坐標(biāo)為,0,,

因為點H在平面xOy上,設(shè)點H的坐標(biāo)為(m,n,0),

因為=m-,n,-,=(-1,-1,1),且GH∥,所以,解得m=1,n=.

所以點H的坐標(biāo)為1,,0,所以點H為線段AB的中點.

創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生體會運用坐標(biāo)法，實現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想

由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系，類比平面向量及其坐標(biāo)運算，從而學(xué)習(xí)空間向量及其坐標(biāo)運算。

通過對空間向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)化的基本原理和方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會空間向量坐標(biāo)運算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。