用空間向量研究距離、夾角問題(1)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.能用向量語言表示點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.

B.能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.

1.數學抽象：向量語言表述空間距離

2.邏輯推理：運用向量運算求解空間距離的原理；

3.數學運算：空間向量的坐標運算解決空間距離問題.

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在公路上選擇一個點,修一條公路到達A點,要想使這個路線長度理論上最短,應該如何設計？

問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?

答案：點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離; 傳統(tǒng)方法和向量法.

二、探究新知

一、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離

1.點到直線的距離

已知直線l的單位方向向量為μ,A是直線l上的定點,P是直線l外一點.設=a,則向量在直線l上的投影向量=(aμ)μ.點P到直線l的距離為PQ=.

2.兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.

點睛：點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題.

1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,則點A到直線EF的距離為 .

答案:

解析:如圖,以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),

=(1,0,-2),∴||=,

∴直線EF的單位方向向量μ=(1,-2,1),

∴點A到直線EF的距離.

二、點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離

點到平面的距離

已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則點P到平面α的距離為PQ=.

點睛：1.實質上,n是直線l的方向向量,點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度.

2.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解.

3.兩個平行平面之間的距離

如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.

2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為 .

答案: 解析:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),

則=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0),

設平面AD1C的法向量為n=(x,y,z),

則

取z=1,則x=y=2,所以n=(2,2,1).

所以點B1到平面AD1C的距離d=.

三、典例解析

例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90,求點B到直線A1C1的距離.

解:以B為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以點B到直線A1C1的距離d==

用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:

(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;

(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標的特殊點;

(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.

延伸探究1 例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.

解:如例1解中建立空間直角坐標系(圖略).

則M(2,0,1),N,C1(0,3,1),

所以直線MN的方向向量為，=(-2,3,0),

所以點C1到MN的距離d=.

延伸探究2 將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.

解:以B為坐標原點,分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立

如圖所示的空間直角坐標系,

則B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,,2),

所以A1C1的方向向量=(-1,,0),=(1,,2),

所以點B到直線A1C1的距離.

例2 在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2

M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.

思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性質,建立空間直角坐標系,先求平面CMN的法向量,再求距離.

解:取AC的中點O,連接OS,OB.

∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥平面ABC.

又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示,分別以OA,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz,則B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,).

∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).

設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,

則取z=1,

則x=,y=-,∴n=(,-,1).

∴點B到平面CMN的距離d=.

求點到平面的距離的主要方法

(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.

(2)在三棱錐中用等體積法求解.

(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段)

跟蹤訓練1 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.

(1)求證:B1C∥平面A1BD;

(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.

(1)證明:連接AB1交A1B于點E,連接DE.

?B1C∥平面A1BD.

(2)解:因為B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距離就等于點B1到平面A1BD的距離.

如圖建立坐標系,則B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),

=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).

設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),所以所以n=(3,0,1).

所求距離為d=.

金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.

(1)求證:B1D⊥平面ABD;

(2)求證:平面EGF∥平面ABD;

(3)求平面EGF與平面ABD的距離.

思路分析：根據兩個平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉化為一個平面內一點到另一個平面的距離,即點面距.

(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標系,

設AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),

D(0,2,2),G.

所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).

所以=0+0+0=0,=0+4-4=0.

所以,

所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.

又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.

通過生活中的現(xiàn)實情況，幫助學生回顧空間距離的概念，并提出運用向量解空間距離的問題，引導學生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，進一步體會空間幾何問題代數化的基本思想

由基本問題出發(fā)，讓學生掌握運用空間向量解決空間距離問題的基本原理，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學生邏輯推理，數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生感受空間向量坐標運算在解決立體幾何問題的應用。發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進一步讓學生體會空間向量坐標運算在解決立體幾何中的應用，提升推理論證能力，提高學生的數學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是( )

答案:B

解析:∵兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),

=(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),

∴兩平面間的距離d=.故選B.

2.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是( )

答案:D

解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系(圖略),則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個

法向量為n=(1,1,1),則d=.

3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是( )

答案:B

解析:建立坐標系如圖,則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O.

∴=(0,1,0),=(-1,0,1).

設n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一個法向量,

則解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1).

又,

∴點O到平面ABC1D1的距離為.

4.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,則點P到斜邊AB的距離是 .

答案:3

解析:以點C為坐標原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(4,0,0),B(0,3,0),P,

所以=(-4,3,0),,

所以點P到AB的距離d==3.

5.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點,則直線MN到平面ACD1的距離為 .

答案:

解析:如圖,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.

則D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M,A(1,0,0),

∴=(-1,1,0),=(-1,0,1).

設平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),

則

令x=1,則y=z=1,∴n=(1,1,1).

∴點M到平面ACD1的距離d=.

故直線MN到平面ACD1的距離為.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)。