兩點間的距離公式教學設計

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

在一條筆直的公路同側有兩個大型小區(qū),現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C,以方便居住在兩個小區(qū)住戶的出行.如何選址能使站點到兩個小區(qū)的距離之和最小?

二、探究新知

問題1.在數(shù)軸上已知兩點A、B，如何求A、B兩點間的距離？

提示：|AB|＝|xA－xB|.

問題2：在平面直角坐標系中能否利用數(shù)軸上兩點間的距離求出任意兩點間距離？

探究.當x1≠x2，y1≠y2時，|P1P2|＝？請簡單說明理由．

提示：可以，構造直角三角形利用勾股定理求解．

答案：如圖，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，

所以|P1P2|＝.

即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝.

你還能用其它方法證明這個公式嗎？

2．兩點間距離公式的理解

(1)此公式與兩點的先后順序無關，也就是說公式也可寫成|P1P2|＝.

(2)當直線P1P2平行于x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|.

當直線P1P2平行于y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|.

兩點間的距離公式

(1)公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝

(2)文字敘述：平面內(nèi)兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術平方根．

1.已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|= .

解析:|P1P2|==2

答案:2

三、典例解析

例1.已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.

思路分析:可求出三條邊的長,根據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.

解:(方法1)∵|AB|=,

|AC|=,

|BC|=,

∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2

∴△ABC是等腰直角三角形

(方法2)∵kAC=,kAB==-,∴kACkAB=-1.∴AC⊥AB.

又|AC|=,|AB|=,

∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.

兩點間距離公式的應用

兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用.

跟蹤訓練1已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:設點P(x,0),則有|PA|=,

|PB|=.

由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,

解得x=-.即所求點P為-,0,

且|PA|=.

例2如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,

求證:|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

思路分析:建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設出各頂點的坐標,應用兩點間的距離公式證明.

證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b

則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,

|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,

|BD||DC|=|m+b||b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,

∴|AD|2+|BD||DC|=a2+b2,

∴|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

坐標法及其應用

1.坐標法解決幾何問題時,關鍵要結合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:

(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;

(2)如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.

2.利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:

(1)建立坐標系,盡可能將有關元素放在坐標軸上;

(2)用坐標表示有關的量;

(3)將幾何關系轉化為坐標運算;

(4)把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何關系.

跟蹤訓練2已知正三角形ABC的邊長為a,在平面ABC上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.

解:以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點為原點,建立直角坐標系,如圖所示.∵正三角形ABC的邊長為a,

通過生活中兩點間距離的問題情境，引出在坐標系下探究兩點間距離公式的問題，幫助學生學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出新的距離公式，讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。

在典例分析和練習中熟悉公式的基本結構，并體會兩點間距離公式的初步應用。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生逐步感悟運用解析法研究幾何問題的方法。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.點A(1,-2)關于原點的對稱點為A,則|AA|為( )

解析:因為A(1,-2)關于原點的對稱點A(-1,2),

所以|AA|==2.故選A.

答案:A

2.設點A在x軸上,點B在y軸上,線段AB的中點P(2,-1),則|AB|=( )

解析:依題意設A(a,0),B(0,b),

∵P(2,-1)為線段AB的中點,∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2).

∴|AB|==2.

答案:A

3．函數(shù)y＝＋的最小值是( )

A．0 B. C．13 D．不存在

解析：原函數(shù)可化為y＝＋，

設P(x,0)，A(0,1)，B(2，－2)．

則y＝|PA|＋|PB|.

∵P是x軸上的動點，A，B是兩個定點，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，

∴當P，A，B三點共線時，ymin＝.

答案：B

4．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)為頂點的三角形是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．等腰直角三角形

解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC為等腰三角形．

答案：B

5.已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，則點P的坐標為________．

解析：設點P的坐標為(x,0)，由d(P，A)＝10得＝10，解得x＝11或x＝－5.

∴點P的坐標為(－5,0)或(11,0).

答案： (－5,0)或(11,0)

6.已知△ABC的頂點坐標為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長為_____.

解析： BC的中點坐標為(0,1)，則BC的中線長為＝.

答案：

7.點A在第四象限，A點到x軸的距離為3，到原點的距離為5，求點A的坐標.

解析：由題意得A點的縱坐標為－3，設A(x，－3)，

則＝5，x＝4.

又點A在第四象限，∴x＝－4(舍)，∴A(4，－3).

8．正方形ABCD的邊長為6，若E是BC的中點，F(xiàn)是CD的中點，試建立直角坐標系，證明：BF⊥AE.

證明：以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖．

則A(0,0)，B(6,0)，E(6,3)，F(xiàn)(3,6)．

∴kBF＝＝－2，kAE＝＝.

∵kBFkAE＝－1，∴BF⊥AE.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。