兩點間的距離公式教學設(shè)計

教學過程

教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

在一條筆直的公路同側(cè)有兩個大型小區(qū),現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C,以方便居住在兩個小區(qū)住戶的出行.如何選址能使站點到兩個小區(qū)的距離之和最小?

二、探究新知

問題1.在數(shù)軸上已知兩點A、B，如何求A、B兩點間的距離？

提示：|AB|＝|xA－xB|.

問題2：在平面直角坐標系中能否利用數(shù)軸上兩點間的距離求出任意兩點間距離？

探究.當x1≠x2，y1≠y2時，|P1P2|＝？請簡單說明理由．

提示：可以，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．

答案：如圖，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，

所以|P1P2|＝.

即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝.

你還能用其它方法證明這個公式嗎？

2．兩點間距離公式的理解

(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān)，也就是說公式也可寫成|P1P2|＝.

(2)當直線P1P2平行于x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|.

當直線P1P2平行于y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|.

兩點間的距離公式

(1)公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝

(2)文字敘述：平面內(nèi)兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術(shù)平方根．

1.已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|= .

解析:|P1P2|==2

答案:2

三、典例解析

例1.已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.

思路分析:可求出三條邊的長,根據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.

解:(方法1)∵|AB|=,

|AC|=,

|BC|=,

∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2

∴△ABC是等腰直角三角形

(方法2)∵kAC=,kAB==-,∴kACkAB=-1.∴AC⊥AB.

又|AC|=,|AB|=,

∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.

兩點間距離公式的應(yīng)用

兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

跟蹤訓練1已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:設(shè)點P(x,0),則有|PA|=,

|PB|=.

由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,

解得x=-.即所求點P為-,0,

且|PA|=.

例2如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,

求證:|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

思路分析:建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設(shè)出各頂點的坐標,應(yīng)用兩點間的距離公式證明.

證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b

則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,

|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,

|BD||DC|=|m+b||b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,

∴|AD|2+|BD||DC|=a2+b2,

∴|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

坐標法及其應(yīng)用

1.坐標法解決幾何問題時,關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:

(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;

(2)如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.

2.利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:

(1)建立坐標系,盡可能將有關(guān)元素放在坐標軸上;

(2)用坐標表示有關(guān)的量;

(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算;

(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

跟蹤訓練2已知正三角形ABC的邊長為a,在平面ABC上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.

解:以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點為原點,建立直角坐標系,如圖所示.∵正三角形ABC的邊長為a,

通過生活中兩點間距離的問題情境，引出在坐標系下探究兩點間距離公式的問題，幫助學生學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出新的距離公式，讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。

在典例分析和練習中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會兩點間距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生逐步感悟運用解析法研究幾何問題的方法。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.點A(1,-2)關(guān)于原點的對稱點為A,則|AA|為( )

解析:因為A(1,-2)關(guān)于原點的對稱點A(-1,2),

所以|AA|==2.故選A.

答案:A

2.設(shè)點A在x軸上,點B在y軸上,線段AB的中點P(2,-1),則|AB|=( )

解析:依題意設(shè)A(a,0),B(0,b),

∵P(2,-1)為線段AB的中點,∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2).

∴|AB|==2.

答案:A

3．函數(shù)y＝＋的最小值是( )

A．0 B. C．13 D．不存在

解析：原函數(shù)可化為y＝＋，

設(shè)P(x,0)，A(0,1)，B(2，－2)．

則y＝|PA|＋|PB|.

∵P是x軸上的動點，A，B是兩個定點，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，

∴當P，A，B三點共線時，ymin＝.

答案：B

4．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)為頂點的三角形是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．等腰直角三角形

解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC為等腰三角形．

答案：B

5.已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，則點P的坐標為________．

解析：設(shè)點P的坐標為(x,0)，由d(P，A)＝10得＝10，解得x＝11或x＝－5.

∴點P的坐標為(－5,0)或(11,0).

答案： (－5,0)或(11,0)

6.已知△ABC的頂點坐標為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長為_____.

解析： BC的中點坐標為(0,1)，則BC的中線長為＝.

答案：

7.點A在第四象限，A點到x軸的距離為3，到原點的距離為5，求點A的坐標.

解析：由題意得A點的縱坐標為－3，設(shè)A(x，－3)，

則＝5，x＝4.

又點A在第四象限，∴x＝－4(舍)，∴A(4，－3).

8．正方形ABCD的邊長為6，若E是BC的中點，F(xiàn)是CD的中點，試建立直角坐標系，證明：BF⊥AE.

證明：以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖．

則A(0,0)，B(6,0)，E(6,3)，F(xiàn)(3,6)．

∴kBF＝＝－2，kAE＝＝.

∵kBFkAE＝－1，∴BF⊥AE.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。