兩條平行線間的距離教學設計

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

前面我們已經(jīng)得到了兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，關于平面上的距離問題，兩條直線間的距離也是值得研究的。

思考1：立定跳遠測量的什么距離？

A.兩平行線的距離

B.點到直線的距離

C. 點到點的距離

二、探究新知

思考2：已知兩條平行直線的方程，如何求間的距離？

根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線上取任一點P,點P到直線的距離就是直線與直線間的距離，這樣求兩條平行線間的距離就轉化為求點到直線的距離。

兩條平行直線間的距離

1. 定義：夾在兩平行線間的__________的長.

公垂線段

2. 圖示：

3. 求法：轉化為點到直線的距離.

1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離是( )

A． B． C．2 D．

D [d＝＝.選D.]

三、典例解析

例1.求證兩條平行直線與間的距離為=

分析:兩條平行直線間的距離，即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離

證明:在直線上任取一點P,點P到直線的距離，就是這兩條平行線間的距離即
=，因為點P在直線上，所以=0,

即因此==

思考3：兩條平行直線間的距離公式寫成d＝時對兩條直線應有什么要求？

[提示] 兩平行直線的方程都是一般式，且x、y的系數(shù)應分別相等．

跟蹤訓練1 兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行,則它們之間的距離為( )

解析:因為兩直線平行,所以m=2.

將6x+2y+1=0化為3x+y+=0,

由兩條平行線間的距離公式得d==,選D.

例2.已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程.

思路探究：由題設知l1∥l2，故l∥l1∥l2，設出l的方程，利用距離公式表示出d1，d2.進而求出直線方程．

[解] 由直線l1，l2的方程知l1∥l2.又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)．

設直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行線間的距離公式，得d1＝，d2＝，

又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，

解得m＝－25或m＝－9.

故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.

求兩平行直線間距離的兩種思路

1?利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離.

2?直接利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應相等.

跟蹤訓練2．直線l1過點A(0,1)，l2過點B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．

[解] 若直線l1，l2的斜率存在，設直線l1與l2的斜率為k，

由斜截式得l1的方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由點斜式可得l2的方程為y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直線l1

上取點A(0,1)，

則點A到直線l2的距離d＝＝5，

∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.

∴l(xiāng)1的方程為12x－5y＋5＝0，

l2的方程為12x－5y－60＝0.

若直線l1，l2的斜率不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝5，

它們之間的距離為5，滿足條件．

則滿足條件的直線方程有以下兩組：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；

l1：x＝0，l2：x＝5.

例3．兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？

解析：如圖，顯然有0

而|AB|＝＝3.

故所求的d的變化范圍為(0,3]．

變式1．上述問題中，當d取最大值時，請求出兩條直線的方程．

解析：由上圖可知，當d取最大值時，兩直線與AB垂直．

而kAB＝＝，

∴所求直線的斜率為－3.

故所求的直線方程分別為

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

距離公式綜合應用的三種常用類型

1?最值問題.

①利用對稱轉化為兩點之間的距離問題.

②利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離.

③利用距離公式將問題轉化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值.

2?求參數(shù)問題.

利用距離公式建立關于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值.

3?求方程的問題.

立足確定直線的幾何要素——點和方向，利用直線方程的各種形式，結合直線的位置關系?平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系?，巧設直線方程，在此基礎上借助三種距離公式求解.)

金題典例：已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．

思路探究：先求出正方形中心坐標，利用正方形中心到四邊的距離相等及另外三邊與已知邊l平行或垂直求解．

[解] 設與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

由得正方形的中心坐標為P(－1,0)，

由點P到兩直線l，l1的距離相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另兩邊所在直線與l垂直，

∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四條邊的距離相等，

∴＝，得a＝9或a＝－3，

∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.

∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.

母題探究：1.求過本例中正方形中心且與原點距離最大的直線方程．

[解] 由例題知，正方形中心坐標為P(－1,0)，則與OP垂直的直線到原點的距離最大．∵kOP＝0，∴此時所求直線方程為x＝－1.

2．本例中條件不變，你能求出正方形對角線所在直線方程嗎？

[解] 由可得交點坐標為，又正方形中心為P(－1,0)．

∴由兩點式方程得對角線方程為：＝，即2x＋y＋2＝0.

由可得正方形另一頂點坐標為，又正方形中心為P(－1,0)，

∴由兩點式得另一對角線方程為：＝，即x－2y＋1＝0.

綜上可知正方形的兩條對角線方程為x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.

通過生活中兩平行線間距離的問題情境，引出在坐標系下探究兩平行線間距離公式的問題，幫助學生學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略。讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。

通過兩平行線間距離公式的推導，體會數(shù)學中的轉化思想，發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中熟悉公式的基本結構，并體會點兩平行線間的距離公式的初步應用。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．平行直線l1：3x－y＝0與l2：3x－y＋＝0的距離等于( )

A．1 B．0 C． D．3

【答案】A [l1、l2的距離為d＝＝1.選A.]

2．分別過點A(－2,1)和點B(3，－5)的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是________．

【解析】 d＝|3－(－2)|＝5.【答案】 5

3.已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m＝________.

【答案】或－6 [由＝，

解得m＝或m＝－6.]

4．求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且與直線l距離為3的直線方程.

【解析】 ∵與l平行的直線方程為5x－12y＋b＝0，

根據(jù)兩平行直線間的距離公式得＝3，

解得b＝45或b＝－33.

∴所求直線方程為5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。