點(diǎn)到直線的距離公式教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?

二、探究新知

思考：最容易想到的方法是什么？

思路①. 定義法,其步驟為：①求l 的垂線l PQ的方程；② 解方程組；③得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)；④求|P Q|的長

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？

如圖，點(diǎn)P到直線l的距離，就是向量的模，設(shè)是直線l上的任意一點(diǎn)，是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量, =。

思考：如何利用直線l的方程得到與的方向向量垂直的單位向量？

設(shè)直線l：上的任意兩點(diǎn)，則是直線l的方向向量。把, 兩式相減，得 ，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量與向量垂直，向量就是與直線的方向向量垂直的一個(gè)單位向量的單位向量，我們?nèi)。?/p>

從而==

因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上所以代入上式，

得=

因此=

思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡化了運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？

1.點(diǎn)到直線的距離

(1)定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長度.

(2)圖示:

(3)公式:d=.

點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.

1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為. ( )

答案:

2.點(diǎn)(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是( )

答案:C

解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得.

3.你能說出代數(shù)式的幾何意義嗎?

提示:該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,b)到直線x+y+1=0的距離.

三、典例解析

例1、求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：

(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.

[解] (1)直線y＝x＋化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得

d＝＝.

(2)因?yàn)橹本€y＝6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|－2－6|＝8.

(3)因?yàn)橹本€x＝4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|3－4|＝1.

應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題

(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．

(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．

(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．

跟蹤訓(xùn)練1 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,

求直線l的方程.

解:(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,

恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,

故x=-1滿足題意;

當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),

設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,

由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得

即x+3y-5=0.

綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.

,解得k=-,

此時(shí)l的方程為y-2=-(x+1),

(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).

當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,

即x+3y-5=0.

當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.

綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.

直線l的斜率為kl,則kAB=kl==-

此時(shí)直線l的方程為y-2=-(x+1),

點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.

延伸探究若將本題改為“已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),點(diǎn)A(2,3),B(-4,5)在l的同側(cè)且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為 .

解析:將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在直線l異側(cè)的情況.

答案:x+3y-5=0

易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)

案例求經(jīng)過點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線l的方程.

所以原點(diǎn)到該直線的距離d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故直線l的方程為-x-y+3+5=0,

錯(cuò)解:設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),

整理,得kx-y+3k+5=0.

錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.

正解:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.

即8x+15y-51=0.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.

所以原點(diǎn)到該直線的距離d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故所求直線方程為y-5=-(x+3),

點(diǎn)睛:在根據(jù)距離確定直線方程時(shí),易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí),應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.

通過生活中點(diǎn)到直線距離的問題情境，引出在坐標(biāo)系下探究點(diǎn)到直線距離公式的問題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點(diǎn)到直線的距離公式，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。

通過不同方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)算法的多樣性，同時(shí)比較不同推導(dǎo)方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會(huì)點(diǎn)到直線距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.點(diǎn)(1,-1)到直線y=1的距離是( )

答案:D

2.已知點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值等于( )

解析:由點(diǎn)到直線的距離公式可得,化簡得|3a+3|=|6a+4|,解得實(shí)數(shù)a=-或-.故選C.

答案:C

3.直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .

解析:由題意知過點(diǎn)P作直線3x-4y-27=0的垂線,

設(shè)垂足為M,則|MP|最小,

直線MP的方程為y-1=-(x-2),

解方程組

∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3).

答案:(5,-3)

4.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.

【解析】由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為＝，

即x－2y＋3＝0，由兩點(diǎn)間距離公式得

|BC|＝，

點(diǎn)A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，

d＝，

所以S＝|BC|d＝2＝4，

即△ABC的面積為4.

5.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.

解:(方法一)∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.

又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.

由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,

∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.

得,解得k=0或k=1.

(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.

∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),

∴直線l的方程是x-y+2=0.

當(dāng)直線l∥AB時(shí),A,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等.

∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,

∴直線l的方程為y=2.

綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。