幾何問題及數字問題與一元二次方程教案

1．掌握列一元二次方程解決幾何問題、數學問題，并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果的合理性；(重點、難點)

2．理解將一些實際問題抽象為方程模型的過程，形成良好的思維習慣，學會從數學的角度提出問題、分析問題，并能運用所學的知識解決問題．

一、情景導入

要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?

二、合作探究

探究點一：利用一元二次方程解決幾何問題

【類型一】面積問題

要對一塊長60米，寬40米的矩形荒地ABCD進行綠化和硬化．設計方案如圖所示，矩形P，Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的，求P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．

解：設P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為x米．

根據題意，得(60－3x)(40－2x)＝6040，

解得x1＝10，x2＝30.

檢驗：如果硬化路面寬為30米，則230＝60＞40，所以x2＝30不符合題意，舍去，故x＝10.

故P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為10米．

易錯提醒：在應用題中，未知數的允許值往往有一定的限制，因此除了檢驗未知數的值是否滿足所列方程外，還必須檢驗它在實際問題中是否有意義．在求出方程的解為10或30時，如果不進行驗根，就會誤以為本題有兩個答案，而題目中明確有“荒地ABCD是一塊長60米，寬40米的矩形”這個已知條件，顯然x＝30不符合題意．

【類型二】動點問題

如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B運動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動，點P停止運動時點Q也停止運動．

(1)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2?

(2)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm?

解：(1)設P，Q兩點從出發(fā)開始xs時，四邊形PBCQ的面積為33cm2，根據題意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.

故(2x＋16－3x)6＝33，解得x＝5.

故P，Q兩點從出發(fā)開始5s時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；

(2)設P，Q兩點從出發(fā)開始xs時，點P和點Q的距離是10cm.

如圖，過Q點作QM⊥AB于點M，則BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.

在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，

∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.

∵所求的是第一次滿足條件的時間，∴x＝.