圓教案

1．理解確定圓的條件及圓的表示方法；(重點)

2．掌握圓的基本元素的概念；(重點)

3．掌握點和圓的三種位置關系．(難點)

一、情境導入

古希臘的數學家認為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形．”它的完美來自于中心對稱，無論處于哪個位置，都具有同一形狀，它最諧調、最勻稱．觀察圖形，從中找到共同特點．

二、合作探究

探究點一：圓的有關概念

【類型一】圓的有關概念

下列說法中，錯誤的是()

A．直徑相等的兩個圓是等圓

B．長度相等的兩條弧是等弧

C．圓中最長的弦是直徑

D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧

解析：直徑相等的兩個圓是等圓，A選項正確；長度相等的兩條弧的圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，B選項錯誤；圓中最長的弦是直徑，C選項正確；一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，D選項正確．故選B.

方法總結：掌握與圓有關的概念是解決問題的關鍵．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

【類型二】圓的概念的應用

如圖，CD是⊙O的直徑，點A為DC延長線上一點，AE交⊙O于點B，連接OE，∠A＝20，AB＝OC，求∠DOE的度數．

解析：由AB＝OC得到AB＝BO，則∠A＝∠1，而∠2＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD.

解：連接OB，如圖，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠A＝∠1.又∵∠2＝∠A＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60.

方法總結：解決此類問題要深刻理解圓的概念，在圓中半徑是處處相等的，這一點在解題的過程中非常關鍵，不容忽視．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題

探究點二：點與圓的位置關系

【類型一】判定幾何圖形中的點與圓的位置關系

在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10，BC＝8，點D、E分別為BC、AB的中點，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，請說明點B、D、C、E與⊙A的位置關系．

解析：先根據勾股定理求出AC的長，再由點D、E分別為BC、AB的中點求出AD、AE的長，進而可得出結論．

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6.∵AB＝10＞6，∴點B在⊙A外；∵在Rt△ACD中，∠C＝90，∴AD＞AC，∴點D在⊙A外；∵AC＝AC，∴點C在⊙A上；∵E為AB的中點，∴AE＝AB＝5＜6，∴點E在⊙A內．

方法總結：解決本題關鍵是掌握點與圓的三種位置關系．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

【類型二】根據點與圓的位置關系確定圓的半徑的取值范圍

有一長、寬分別為4cm、3cm的矩形ABCD，以A為圓心作⊙A，若B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是__________．

解析：∵矩形ABCD的長、寬分別為4cm、3cm，∴矩形的對角線為5cm.∵B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍是3＜r＜5.故答案為3

方法總結：解決本題要熟練掌握點與圓的位置關系，要熟悉勾股定理．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題

【類型三】在平面直角坐標系中判斷點與圓的位置關系

如圖，⊙O′過坐標原點，點O′的坐標為(1，1)，試判斷點P(－1，1)，點Q(1，0)，點R(2，2)與⊙O′的位置關系．

解析：首先求得圓的半徑長，然后求得P、Q、R到Q′的距離，即可作出判斷．

解：⊙O′的半徑是r＝＝，PO′＝2＞，則點P在⊙O′的外部；QO′＝1＜，則點Q在⊙O′的內部；RO′＝＝＝圓的半徑，故點R在圓上．

方法總結：注意運用平面內兩點之間的距離公式，設平面內任意兩點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝.

【類型四】點與圓的位置關系的實際應用

如圖，城市A的正北方向50千米的B處，有一無線電信號發(fā)射塔．已知，該發(fā)射塔發(fā)射的無線電信號的有效半徑為100千米，AC是一條直達C城的公路，從A城發(fā)往C城的客車車速為60千米/時．

(1)當客車從A城出發(fā)開往C城時，某人立即打開無線電收音機，客車行駛了0.5小時的時候，接收信號最強．此時，客車到發(fā)射塔的距離是多少千米(離發(fā)射塔越近，信號越強)?

(2)客車從A城到C城共行駛2小時，請你判斷到C城后還能接收到信號嗎？請說明理由．

解析：(1)根據路程＝速度時間求得客車行駛了0.5小時的路程，再根據勾股定理就可得到客車到發(fā)射塔的距離；(2)根據勾股定理求得BC的長，再根據有效半徑進行分析．

解：(1)過點B作BM⊥AC于點M，則此時接收信號最強．∵AM＝600.5＝30(千米)，AB＝50千米，∴BM＝40千米．所以，客車到發(fā)射塔的距離是40千米；

(2)到C城后還能接收到信號．理由如下：連接BC，∵AC＝602＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝90千米，∴BC＝＝10千米＜100千米．所以，到C城后還能接收到信號．