三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì)教案

1．復(fù)習(xí)全等三角形的判定定理及相關(guān)性質(zhì)；

2．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)定理及推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的幾何問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

探究：如圖所示，把一張長方形的紙按照圖中虛線對折并減去陰影部分，再把它展開得到的△ABC有什么特點(diǎn)？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：全等三角形的判定和性質(zhì)

【類型一】全等三角形的判定

如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是()

A．BD＝CD

B．AB＝AC

C．∠B＝∠C

D．∠BAD＝∠CAD

解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若BD＝CD，則△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠B＝∠C，則△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠BAD＝∠CAD，則△ABD≌△ACD(ASA)；故選B.

方法總結(jié)：判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

【類型二】全等三角形的性質(zhì)

如圖，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列結(jié)論錯誤的是()

A．∠1＝∠2 B．AC＝CA

C．∠D＝∠B D．AC＝BC

解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共邊，可知∠1和∠2，∠D和∠B是對應(yīng)角．全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，因而前三個(gè)選項(xiàng)一定正確．AC和BC不是對應(yīng)邊，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是對應(yīng)角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是對應(yīng)邊，而不是BC，∴A、B、C正確，錯誤的結(jié)論是D.故選D.

方法總結(jié)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)；根據(jù)已知條件正確確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角是解決本題的關(guān)鍵．

探究點(diǎn)二：等邊對等角

【類型一】運(yùn)用“等邊對等角”求角的度數(shù)

如圖，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80，則∠BCD＝()

A．80 B．100

C．140 D．160

解析：先根據(jù)已知和四邊形的內(nèi)角和為360，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，從而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝2802＝140，故選C.

方法總結(jié)：求角的度數(shù)時(shí)，①在等腰三角形中，一定要考慮三角形內(nèi)角和定理；②有平行線時(shí)，要考慮平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③兩條相交直線中，對頂角相等，互為鄰補(bǔ)角的兩角之和等于180.

【類型二】分類討論思想在等腰三角形求角度中的運(yùn)用

等腰三角形的一個(gè)角等于30，求它的頂角的度數(shù)．

解析：本題可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解，由于本題中沒有明確30角是頂角還是底角，因此要分類討論．

解：①當(dāng)?shù)捉鞘?0時(shí)，頂角的度數(shù)為180－230＝120；

②頂角即為30.

因此等腰三角形的頂角的度數(shù)為30或120.

方法總結(jié)：已知的一個(gè)銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以是底角；一個(gè)鈍角只能是等腰三角形的頂角．分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．

探究點(diǎn)三：三線合一

【類型一】利用等腰三角形“三線合一”進(jìn)行計(jì)算

如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC＝125.求∠ACB和∠BAC的度數(shù)．

解析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DCE，根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式進(jìn)行計(jì)算即可求出∠BAC.

解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125，∴∠CDE＝55，∴∠DCE＝90－∠CDE＝35.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40.

方法總結(jié)：利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，有兩種類型：一是求邊長，求邊長時(shí)應(yīng)利用等腰三角形的底邊上的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的大小，求角度時(shí)，應(yīng)利用等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的高與其他兩線互相重合．

【類型二】利用等腰三角形“三線合一”進(jìn)行證明

如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上任意一點(diǎn)，延長BA到E使得AE＝AD，連接DE，求證：DE⊥BC.

解析：作AF∥DE，交BC于點(diǎn)F.利用等邊對等角及平行線的性質(zhì)證明∠BAF＝∠FAC.在△ABC中由“三線合一”得AF⊥BC.再結(jié)合AF∥DE可得出結(jié)論．

證明：過點(diǎn)A作AF∥DE，交BC于點(diǎn)F.

∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.

∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE.

∴∠BAF＝∠FAC.

又∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

∵AF∥DE，∴DE⊥BC.

方法總結(jié)：利用等腰三角形“三線合一”得出結(jié)論時(shí)，先必須已知一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是等腰三角形底邊上的高，可以是底邊上的中線，也可以是頂角的平分線．解題時(shí)，一般要用到其中的兩條線互相重合．