集合的基本運算教學設計（2）

集合的基本運算是人教版普通高中課程標準實驗教科書，數學必修1第一章第三節(jié)的內容. 在此之前，學生已學習了集合的含義以及集合與集合之間的基本關系，這為學習本節(jié)內容打下了基礎. 本節(jié)內容是函數、方程、不等式的基礎，在教材中起著承上啟下的作用. 本節(jié)內容是高中數學的主要內容，也是高考的對象，在實踐中應用廣泛，是高中學生必須掌握的重點.

課程目標

1. 理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；

2. 理解全集和補集的含義，能求給定集合的補集；

3. 能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算.

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：并集、交集、全集、補集含義的理解；

2.邏輯推理：并集、交集及補集的性質的推導；

3.數學運算：求 兩個集合的并集、交集及補集，已知并集、交集及補集的性質求參數（參數的范圍）；

4.數據分析：通過并集、交集及補集的性質列不等式組，此過程中重點關注端點是否含“=”及；

5.數學建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類。

重點：1.交集、并集定義的三種語言的表達方式及交集、并集的區(qū)別與聯系；

2全集與補集的定義.

難點：利用交集并集補集含義和Venn圖解決一些與集合的運算有關的問題．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 問題導入：

實數有加、減、乘、除等運算.集合是否也有類似的運算.

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本10-13頁，思考并完成以下問題

1. 兩個集合的并集與交集的含義是什么？它們具有哪些性質？

2.怎樣用Venn圖表示集合的并集和交集？

3.全集與補集的含義是什么？如何用Venn圖表示給定集合的補集？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

（一）知識整理

1、并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B（讀作：“A并B”）即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn圖表示

2 交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作：

A∩B（讀作：“A交B”）即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

Venn圖表示

3．全集

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。

4．補集：

對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集，記作：CUA即：CUA={x|x∈U，且xA}

補集的Venn圖表示

（二）知識擴展

根據集合的基本關系和集合的基本運算，你能得到哪些結論？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑過程。

結論：

1.A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩ = ,A∩B=B∩A

2.A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪ =A,A∪B=B∪A

3.（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

4. 若A∩B=A，則AB，反之也成立

5. 若A∪B=B， 則AB，反之也成立

四、典例分析、舉一反三

題型一 集合的交集運算、并集運算與補集運算

例1 （單一運算）

1.求下列兩個集合的并集和交集:

(1) A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};

(2) A={x|x+1>0},B={x|-2

2.設集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則?UM＝( )

A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}

【答案】見解析

【解析】 1.(1)如圖所示,

A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.

(2)由題意知A={x|x>-1},用數軸表示集合A和B,如圖所示,

則數軸上方所有“線”下面的實數組成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了A∩B,故A∩B={x|-1

2.因為U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由補集的定義，可知?UM＝{3,5,6}．故選C

解題技巧：（求兩個集合的并集、交集及補集的常用方法）

1.定義法:對于用列舉法給出的集合,則依據并集、交集的含義,可直接觀察或借助于Venn圖寫出結果.

2.數形結合法：對于用描述法給出的集合,首先明確集合中的元素,其次將兩個集合化為最簡形式;對于連續(xù)的數集常借助于數軸寫出結果,此時要注意數軸上方所有“線”下面的實數組成了并集,數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了交集,此時要注意當端點不在集合中時,應用空心點表示.

跟蹤訓練一

1. 若集合A={x|1≤x≤3,x∈N},B={x|x≤2,x∈N},則A∩B=( )

A. {3}B. {x|x≥1} C.{2，3} D. {1，2}

2.若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－2＜x＜2}，則A∪B等于( )

A．{x|x＞－2} B．{x|x＞－1}

C．{x|－2＜x＜－1} D．{x|－1＜x＜2}

3.設全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，則?UA＝________.

【答案】1. D 2.A 3.{x|x≤2或x＞5}

例2（混合運算）

（1）設集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝ ( )

A．{2} B．{1，2，4}

C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}

(2)設全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________.

【答案】(1)B (2){x|x≤2，或x≥10} {x|2

【解析】(1)A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，

則(A∪B)∩C＝{1,2,4}．

(2)把全集R和集合A、B在數軸上表示如下：

由圖知，A∪B＝{x|2

∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．

∵?RA＝{x|x<3，或x≥7}，

∴(?RA)∩B＝{x|2

跟蹤訓練二

1．已知集合A、B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB等于 ( )

A．{3} B．{4} C．{3,4} D．

2．設集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T等于( )

A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

【答案】1. A 2. C

題型二 已知集合的交集、并集求參數

例3（由并集、交集求參數的值）

已知M＝{1,2，}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求實數a的值．

【答案】見解析

【解析】∵M∩N＝{3}，∴3∈M；

∴，即，，解得＝－1或4.

當＝－1時，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

當＝4時，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合題意．

∴＝4.

例4（由并集、交集的定義求參數的范圍）

設集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范圍．

【答案】見解析

【解析】如圖所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.

例5（由交集、并集的性質求參數的范圍）

已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．

【答案】見解析

【解析】∵A∪B＝A，∴B?A，

①當B＝時，k＋1＞2k－1，∴k＜2.

②當B≠，則根據題意如圖所示：

根據數軸可得解得2≤k≤.

綜合①②可得k的取值范圍為.

變式． [變條件]把例5題中的條件“A∪B＝A”換為“A∩B＝A”，求k的取值范圍．

【答案】見解析

【解析】∵A∩B＝A，∴A?B.

又A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，

可知B≠.

由數軸可知解得k∈，

即當A∩B＝A時，k不存在．

解題技巧：（由集合交集、并集的性質解題的方法）

當利用交集和并集的性質解題時,常借助于交集、并集的定義將其轉化為集合間的關系去求解,如A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等.當題設中隱含有空集參與的集合關系時,其特殊性很容易被忽視,從而引發(fā)解題失誤