用公式法求解一元二次方程教案

1．理解一元二次方程求根公式的推導過程；

2．會用公式法解一元二次方程；(重點)

3．會用根的判別式b2－4ac判斷一元二次方程根的情況及相關應用．(難點)

一、情景導入

如果這個一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步驟求出它們的兩根？請同學獨立完成下面這個問題．

問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，試推導它的兩個根x1＝，x2＝.

二、合作探究

探究點一：用公式法解一元二次方程

方程3x2－8＝7x化為一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根為____________．

解析：將方程移項可化為3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因為b2－4ac＝(－7)2－43(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.

故答案分別為3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.

方法總結：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系數(shù)a，b，c確定的，只要確定了系數(shù)a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．

用公式法解下列方程：

(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；

(3)x2－2x＋1＝0.

解析：先確定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．

解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.

∵a＝3，b＝5，c＝－2，

∴b2－4ac＝52－43(－2)＝49＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝－2；

(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，

∴b2－4ac＝32－423＝9－24＝－15＜0，

∴原方程沒有實數(shù)根；

(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，

∴b2－4ac＝(－2)2－411＝0，

∴x＝＝，

∴x1＝x2＝1.

方法總結：用公式法解一元二次方程時，首先應將其變形為一般形式，然后確定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值與“0”比較，最后利用求根公式求出方程的根(或說明其沒有實數(shù)根)．

探究點二：一元二次方程根的判別式

【類型一】用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判斷正確的是()

A．該方程有兩個相等的實數(shù)根

B．該方程有兩個不相等的實數(shù)根

C．該方程無實數(shù)根

D．該方程根的情況不確定

解析：原方程變形為x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－41(－1)＝5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B.

方法總結：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉化為一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2－4ac＜0時，方程無實數(shù)根．

【類型二】根據(jù)方程根的情況確定字母的取值范圍

若關于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()

A．k>－1 B．k>－1且k≠0

C．k<1 D．k<1且k≠0

解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2－4ac>0，同時要求二次項系數(shù)不為0，即解得k>－1且k≠0，故選B.

易錯提醒：利用b2－4ac判斷一元二次方程根的情況時，容易忽略二次項系數(shù)不能等于0這一條件，本題中容易誤選A.

【類型三】根的判別式與三角形的綜合應用

已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，當m>0時，關于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有兩個相等的實數(shù)根，請判斷△ABC的形狀．

解析：先將方程轉化為一般形式，再根據(jù)根的判別式確定a，b，c之間的關系，即可判定△ABC的形狀．

解：將原方程轉化為一般形式，得(b＋c)x2－2 ax＋(c－b)m＝0.

∵原方程有兩個相等的實數(shù)根，

∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，