簡單的三角恒等變換教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1．能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡單的應(yīng)用．

2．了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用．

3．體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思考?xì)w納能力，提高其思維靈活性.

a.數(shù)學(xué)抽象：公式的應(yīng)用；

b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用公式求值；

d.直觀想象：公式的靈活運(yùn)用；

e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用三角公式解決實(shí)際問題；

教學(xué)過程

設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題

學(xué)習(xí)了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具 ，從而使三角恒等變換的內(nèi)容 、 思路和方法更加豐富 ．

例７ 試以表示 , ,

解：是的二倍角．在倍角公式中，以代替，以代替，

得,

所以=, ①

在倍角公式-1中，以代替，以代替，

得-1,

所以=, ②

將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，得=

例7的結(jié)果還可以表示為

sin＝cos＝______，tan＝__

并稱為半角公式，符號由所在的象限決定。

歸納總結(jié)

因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓剑@是三角恒等變換的一個(gè)重要特點(diǎn)．

例８ 求證：

（1）

(2)

這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

證明：（１）因?yàn)?/p>

= +

=

將以上兩式的左右兩邊分別相加，得

+= ①

即

（2）由（1）可得+=

設(shè)，

把，代入①，即得

如果不用（１）的結(jié)果，如何證明？

歸納總結(jié)

例８的證明用到了換元的方法．如把看作θ，看作，從而把包含的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，的三角函數(shù)式．或者，把看作，cos看作，把等式看作， 的方程，則原問題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求．它們都體現(xiàn)了化歸思想．

例９ 求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：

（１）； （２）．

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是,利用和角公式將其展開，可化為） 的形式．反之，利用和（差）角公式，可將 轉(zhuǎn)化為 的形式，進(jìn)而就可以求得其周期和最值了．

解：（1）= 2（）①

=2（）=2

因此，所求周期為2，最大值為２，最小值為－２．

你能說說①這一步變形的理由嗎？

（２）設(shè) ,

則=．

于是

所以=25.

取A＝５，則, ．

由

可知，所求周期為2，最大值為5，最小值為－5

例10 如圖5.5-2，已知OPQ是半徑為１，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP＝α，求當(dāng)角α 取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

分析:要求當(dāng)角a取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大, 可分二步進(jìn)行.

①找出S與a之間的函數(shù)關(guān)系;

②由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.

解：在中,,.

在中,,

所以, ,

所以, .

設(shè)矩形的面積為,則.

對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:

由 , 得 .

所以當(dāng) , 即時(shí),

因此,當(dāng)時(shí), 矩形的面積最大,最大面積為

注：（1）在求解最大值時(shí)，要特別注意 “”這一隱含條件;

（2）應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后要回歸到實(shí)際問題.

通過三角變換把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(wx+j)的函數(shù),從而使問題得到簡化?；瘹w思想

通過開門見山，提出問題，利用三角解決證明問題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過對三角公式的靈活運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

通過對典型問題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1．若cos α＝，α∈(0，π)，則cos 的值為( )

A． B．－ C． D．－

【解析】 由題意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.

【答案】 C

2．已知cos α＝，α∈，則sin 等于( )

A． B．－ C． D．

【解析】 由題知∈，∴sin >0，sin ＝＝.

【答案】 A

3．已知sin α－cos α＝－，則sin 2α的值等于( )

A． B．－ C．－ D．

【解析】 由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.

【答案】 C

4．函數(shù)y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期為________．

【解析】 ∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，

∴函數(shù)的最小正周期T＝＝π.

【答案】 π

5．求證：4sin θcos2＝2sin θ＋sin 2θ.

【證明】 法一：左邊＝2sin θ2cos2＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右邊，

所以原式成立．

法二：右邊＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ2cos2 ＝4sin θcos2＝左邊，

所以原式成立．

6、如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長最大？

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【解答】 設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長為l，

則AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<，

∴l(xiāng)的最大值為R＋R＝(＋1)R，此時(shí)，α＋＝，即α＝，

即當(dāng)α＝時(shí)，△OAB的周長最大．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固對三角公式運(yùn)用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。