簡單隨機抽樣教學設計

課題

9.1.1簡單隨機抽樣

單元

第九單元

學科

數學

年級

高一

教材分析

本節(jié)內容是統計的初步內容——簡單隨機抽樣，是其他抽樣方法的基礎，也是估計總體結果的前提，同時也是初中頻率知識的延伸。

教學目標與核心素養(yǎng)

1.數學抽象：利用簡單隨機抽樣將總體分布具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

3.數學建模：掌握簡單隨機抽樣，利用簡單隨機抽樣統計數據估計總體。

4.直觀想象：通過樣本平均數等數據直觀估計總體平均數等數據；

5.數學運算:能夠正確選擇抽樣方法；

6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點

普查與抽查、簡單隨機抽樣、總體平均數與樣本平均數

難點

簡單隨機抽樣、總體平均數與樣本平均數

教學過程

導入新課

問題導入：

問題一：你知道我國幾年進行一次人口普查嗎？上一次人口普查是哪一年？

到目前為止，每十年進行一次人口普查。上一次人口普查是2010年。

學生思考問題，引出本節(jié)新課內容。

設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。

講授新課

知識探究（一）：普查與抽查

像人口普查這樣，對每一個調查調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查（又稱普查）。

在一個調查中，我們把調查對象的全體稱為總體，組成總體的每一個調查對象稱為個體。

為了強調調查目的，也可以把調查對象的某些指標的全體作為總體，每一個調查對象的相應指標作為個體。

問題二：除了普查，還有其他的調查方法嗎？

由于人口普查需要花費巨大的財力、物力，因而不宜經常進行。為了及時掌握全國人口變動狀況，我國每年還會進行一次人口變動情況的調查，根據抽取的居民情況來推斷總體的人口變動情況。像這樣，根據一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和判斷的方法，稱為抽樣調查（或稱抽查）。

我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數稱為樣本量。

調查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數據，簡稱樣本數據。

學生根據一連串的問題，探究普查與抽查的異同點。

利用問題情境探究得出普查與抽查的異同,培養(yǎng)學生探索的精神.

講授新課

問題三：普查和抽樣調查各有什么特點？

普查的數據結果全面、準確，但花費的代價大、時間較長。

抽樣調查的數據結果雖沒有普查全面、準確，但具有花費少、效率高的特點，在總體規(guī)模較大的調查中，如果經費、時間上受限，那么抽樣調查是比較合適的調查方法。

同時，在一些調查中，抽樣調查具有不可替代的作用，抽樣調查毀損性小。

例如，檢測一批燈泡的壽命，或一批種子的發(fā)芽率，或一批待售袋裝牛奶的細菌數是否超標。

小試牛刀

一、選擇題

1.醫(yī)生要檢驗人血液中血脂的含量，采取的調查方法應該是（ B ）

A.普查 B.抽樣調查 C.既不能普查也不能抽樣調查D.普查與抽樣調查都可以

2.若要調查某城市家庭的收入情況，在該問題中，總體是（ B ）

A.某城市 B.某城市的所有家庭的收入

C.某城市的所有人口 D.某城市的工薪階層

3.抽樣調查在抽取調查對象時（ A ）

A.按一定的方法抽取 B.隨便抽取

C.全部抽取 D.根據個人的愛好抽取

知識探究（二）：簡單隨機抽樣定義

問題一：抽查的目的是什么？

抽查的目的是為了了解總體的情況。

例如，抽樣調查一批待售袋裝牛奶的細菌數量是否超標，其目的是要了解整批牛奶的細菌含量是否超標，而不只是局限在抽查到的那幾袋牛奶的情況。

因此，通過抽樣調查了解總體的情況，自然希望抽取的樣本數據能很好的反映總體的情況，即樣本含有和總體基本相同的信息。

問題二：抽取的樣本具有什么特點？

抽取出的樣本要客觀、公正、具有代表性。

探究一：假設口袋中有紅色和白色共1000個小球，除顏色外，小球的大小、質地完全相同，你能通過抽樣調查的方法估計袋中紅球所占的比例嗎？

袋中所有小球是調查的總體，每一個小球是個體，小球的顏色是需調查的變量。

我們可以從袋中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，搖勻后再摸出一個球，如此重復n次。

根據初中的概率知識可知，隨著摸球次數的增加，摸到紅球的頻率會逐漸穩(wěn)定于摸到紅球的概率，即口袋中紅球所占的比例。

因此，可以通過放回摸球，用頻率估計出紅球的比例。

問題三：放回摸球有什么不足嗎？你還有其他的方法嗎？

在有放回地摸球中，同一個小球有可能被摸中多次，極端情況是每次摸到同一個小球，而被重復的小球只能提供同一個小球顏色信息。這樣的抽樣結果誤差較大。

我們可以采用不放回摸球，即從袋中隨機摸出一個球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中隨機摸取，這樣就可以避免同一個小球被重復摸中。

特別地，當樣本量n=1000時，不放回摸球已經把袋中的所有球取出，這就完全了解了袋中紅球的比例，而有放回摸球一般還不能對袋中紅球的比例做出準確的判斷。

簡單隨機抽樣定義：

一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個抽取n（1≤n

如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率是相等的，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣。

我們把放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣。通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本。

從總體中，逐個不放回地隨機抽取n個個體作為樣本，一次性批量隨機抽取n個個體作為樣本，兩種方法是等價的。

問題四：放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣哪個效率高？

不放回簡單隨機抽樣的效率更高。

因此實踐中人們更多采用不放回簡單隨機抽樣。

除非特殊說明，本章所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣。

問題五：簡單隨機抽樣有哪些特點？

1、總體的個體數有限；樣本數n小于等于樣本總體的個數N ；

2、是不放回抽樣；

3、樣本的抽取是逐個進行的，每次只抽取一個個體；

4、每個個體被抽到的機會都相等，抽樣具有公平性.

小試牛刀

下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機抽樣？為什么？

（1）從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本.

不是簡單隨機抽樣。因為簡單隨機抽樣總體是有限的，但本題是無限的。

（2）箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進行質量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢驗后，再把它放回箱子.

不是簡單隨機抽樣。因為如無特殊說明，簡單隨機抽樣是指不放回簡單隨機抽樣，但本題是放回的。

知識探究（三）：簡單隨機抽樣（一）——抽簽法

問題一：一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們

事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節(jié)課

桌椅的標準高度。已知樹人中學高一年級有712名學生，如果

要通過簡單隨機抽樣的方法調查高一年級學生的平均身高，

應該怎么抽取樣本？在這個抽樣中，總體、個體、變量分別是什么？

可以用簡單隨機抽樣，用抽出的樣本的平均身高估計高一年級學生的平均身高。

樹人中學全部高一年級學生構成調查的總體，每一位學生是個體，學生的身高是調查的變量。

實現簡單隨機抽樣的方法有很多，抽簽法和隨機數法是比較常用的兩種方法。

接下來用抽簽法進行簡單隨機抽樣。

先給712名學生編號，例如1~712進行編號；

然后把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌；

最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應的學生進入樣本，直到抽足樣本所需要的人數。

問題二：為什么要給學生編號？編號用學號可以嗎？

編號是為了將每名學生能明確區(qū)分開.因此，用學號也可以，學號與學生之間也是一一對應的。

還可以用字母+數字進行區(qū)分。例如：a1、a2等等。

如果沒有學生沒有重名，還可以用姓名進行區(qū)分。

問題三：抽簽法的步驟是什么？

第一步：將總體中的所有個體編號；（編號）

第二步：并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；將號簽放在一個不透明容器中，并攪拌均勻.（制簽）

第三步：每次從中不放回抽取一個號簽，直到抽取到足夠的樣本量。（抽取）

問題四：抽簽法的優(yōu)缺點是什么？

優(yōu)點：簡單易行，當總體個數不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽中，從而能保證樣本的代表性.

缺點：當總體個數較多時很難攪拌均勻，產生的樣本代表性差的可能性很大.

因此，抽簽法一般適用于總體中個體數不多的情形。

小試牛刀

高一（1）班有50名同學，現從中抽出8名同學去參加一個座談會，每位同學的機會均等.請你設計一個抽樣方法，并說明其合理性.

解：可以采用抽簽法進行選取。

首先，我們可以把50名同學的學號寫在小紙條上，揉成小球；

然后，放到一個不透明的袋子中，充分攪拌；

最后從中逐個抽出8個號簽，從而抽出8名參加座談會的學生.

因為這樣的抽取方法使得大家的機會是均等的，

因此抽取結果也非常合理。

知識探究（三）：簡單隨機抽樣（二）——隨機數法

一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節(jié)課桌椅的標準高度。已知樹人中學高一年級有712名學生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調查高一年級學生的平均身高。

仍是這個調查，接下來，我們用隨機數法進行抽查。

先給712名學生編號，例如1~712進行編號；

用隨機數工具產生1~712范圍內的整數隨機數，把產生的隨機數作為抽中的編號，使與編號對應的學生進入樣本；

重復上述過程，直到抽足樣本所需要的人數。

先給712名學生編號，例如1~712進行編號；

用隨機數工具產生1~712范圍內的整數隨機數，把產生的隨機數作為抽中的編號，使與編號對應的學生進入樣本；

重復上述過程，直到抽足樣本所需要的人數。

如果生成的隨機數有重復，即同一編號被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新產生隨機數，直到抽足樣本所需要的人數。

思考一：怎樣產生隨機數？

1、用隨機試驗產生隨機數；

2、用信息技術生成隨機數

（1）用計算器生成隨機數；

（2）用電子表格軟件生成隨機數；

（3）用R統計軟件生成隨機數。

問題二：隨機數法的步驟是什么？

第一步：將總體中的所有個體編號；（編號）

第二步：在隨機數表中任選一個數作為起始數；（選起始數）

第三步：從選定的數開始依次向右（或向左、向上、向下）讀，將編號范圍內的數取出，編號范圍外的數去掉，直到取滿樣本容量的樣本.（抽取樣本）

問題三：隨機數法需注意哪些方面？

1、不重復抽樣

2、編號要求數位相同

3、第一個數字的抽取是隨機的

4、讀數的方向是任意的，且是事先規(guī)定好的

問題四：隨機數法的優(yōu)缺點是什么？

優(yōu)點：隨機數表數字較多，因此當總體容量較多時，抽取較為便利；

缺點：起始位置及抽取方向是人為確定的，不同的人選取出的樣本會有差距。

因此，隨機數法一般適用于總體中個體數較多的情形。

問題五：對比抽簽法與隨機數法，如何選取合適的方法？

當總體容量較小時，選擇抽簽法；

當總體容量較大時，選擇隨機數法。

問題六：用簡單隨機抽樣方法抽取樣本，樣本量是否越大越好？

在重復試驗中，試驗次數越多，頻率越接近概率的可能性越大。與此相似，用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本，樣本量越大，結果越準確。一般來說，樣本量大的要比樣本量小的好，增加樣本量可以較好地提高估計的效果。

但在實際情況中，樣本量會導致人力、費用、時間等成本的增加。

因此，抽樣調查中樣本量的選擇要根據實際問題的需要，并不一定是越大越好。

小試牛刀

1、利用隨機數表法從500件產品中抽取40件進行質檢.（1）這500件產品可以怎樣編號？

（2）如果從隨機數表第10行第8列的數開始往左讀數，則最先抽取的3件產品的編號依次是什么？

解：（1）按照001~500進行編號；

（2）512、123、441.

2、假設我們要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，可以怎樣操作？

第一步：將800袋牛奶編號為000，001，002，…，799.

第二步：在隨機數表中任選一個數作為起始數（例如選出第8行第7列的數7）.

第三步：從選定的數7開始依次向右讀（讀數的方向也可以是向左、向上、向下等），將編號范圍內的數取出，編號范圍外的數去掉，直到取滿60個號碼為止，就得到一個容量為60的樣本.

知識探究（四）：總體平均數與樣本平均數

下面是用隨機數法從樹人中學高一年級學生中抽取的一個容量為50的簡單隨機樣本，他們的身高變量值（單位：cm）如下：

由這些樣本觀測數據，我們可以計算出樣本的平均數為164.3。據此，可以估計樹人中學高一年級學生的平均身高為164.3cm左右。

上面我們通過簡單隨機抽樣得到部分學生的平均身高，并把樣本平均身高作為樹人中學高一年級所以學生平均身高的估計值。

總體平均數

樣本平均數

補充知識：

問題一：小明想考察一下簡單隨機抽樣的估計效果，他從樹人中學醫(yī)務室得到了高一年級學生身高的所有數據，計算出整個年級學生的平均身高為165.0CM。然后，小明用簡單隨機抽樣的方法，從這些數據中抽取了樣本量為50和100的樣本各10個，分別計算出樣本平均數，如下表所示，從小明多次抽樣所得的結果中，你有什么發(fā)現？

為了更方便地觀察數據，以便我們分析樣本平均數的特點以及與總體平均數的關系，我們把這20次試驗的平均數用圖形表示出來，如下圖所示。圖中的紅線表示樹人中學高一年級全體學生身高的平均數。

從試驗結果看，不管樣本量為50，還是為100，不同樣本的平均數往往是不同的。由于樣本的選取是隨機的，因此樣本平均數也具有隨機性，這與總體平均數是一個確定的數不同。

雖然在所有20個樣本平均數中，與總體平均數完全一致的很少，但除了樣本量為50的第2個樣本外，樣本平均數偏離總體平均數都不超過1CM，即大部分樣本平均數離總體平均數不遠，在總體平均數附近波動。

比較樣本量為50和樣本量為100的樣本平均數，還可以發(fā)現樣本量為100的波動幅度明顯小于樣本量為50的，這與我們對增加樣本量可以提高估計效果的認識是一致的。

總體平均數是總體的一項重要特征。另外，某類個體在總體中所占的比例也是人們關心的一項總體特征，例如全部產品中合格品所占的比例、贊成某項政策的人在整個人群中所占的比例等。

問題二：眼睛是心靈的窗戶，保護好視力非常重要。樹人中學在“全國愛眼日”前，想通過簡單隨機抽樣的方法，了解一下全校2174名學生中視力不低于5.0的學生所占的比例，你覺得該怎樣做？總體、個體、變量分別是什么？

全體學生構成調查的總體，每一位學生是個體，學生的視力是考察的變量。

我們記“視力不低于5.0”為1，“視力低于5.0”為0，則第i個（i=1，2，...，2174）學生的視力變量值為

現在，我們從樹人中學所有學生中抽取一個容量為50的簡單隨機樣本，其視力變量取值如下：1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 10 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0

由樣本平均數，我們估計在樹人中學全體學生中，

“視力不低于5.0”的比例約為0.54.

問題三：由以上例題，你能發(fā)現簡單隨機抽樣的優(yōu)缺點嗎？

優(yōu)點：簡單隨機抽樣方法簡單、直觀；用樣本平均數估計總體平均數也比較方便。簡單隨機抽樣是一種基本抽樣方法，是其他抽樣方法的基礎。

缺點：在實際應用中，簡單隨機抽樣有一定局限性。例如，當總體很大時，編號等準備工作耗費時間、人工，甚至難以做到；抽中個體較為分散，要找到樣本中的個體進行調查會遇到很多困難；簡單隨機抽樣沒有其他輔助信息，估計效率不是很高。

因此，在規(guī)模較大的調查中，直接采用簡單隨機抽樣的并不多，一般是把簡單隨機抽樣和其他抽樣方法組合使用。

小試牛刀

公交508路總站設在一居民小區(qū)附近，為了了解高峰時段從總站乘車出行的數，隨機抽查了10個班次的乘車人數，結果如下：20 23 23 25 29 28 30 25 21 23

（1）計算這10個班次乘車人數的平均數；

（2）如果在高峰時段從總站共發(fā)車60個班次，根據上面的計算結果，估計高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有多少人？

解：（1）（20+23+23+25+29+28+30+25+21+23）10=24.7，則平均數為25

（2）因為樣本平均數為25，則60個班次出行的乘客大約共有2560=1500人。

課堂鞏固

一、填空題

1、某工廠要檢驗一批產品的質量，決定從這批產品中任意抽取10個進行檢驗，以判斷產品的質量如何.在這個調查中，總體是 一批產品，樣本是 10個產品，樣本容量是10

2、抽樣調查一定要保證 隨機性原則，盡可能地避免人為因素的干擾；并且要保證每個個體以 相同的概率被抽取到.

3、普查是一項非常艱巨的工作，當 普查的對象很少時，普查無疑是一項非常好的調查方式；當普查的對象很多時，普查工作量就很大；在很多情況下，普查工作難以實現.

二、1936年美國一著名雜志社為了預測總統候選人羅斯福與蘭登兩人誰能當選，他們以電話薄上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出1000萬封信，收回回信200萬封，在調查史上是少有的容量，花費了大量的人力、物力.雜志社相信自己的調查結果——蘭登將以57％對43％的比例獲勝，并進行大力宣傳，最后選舉的結果卻是羅斯福以62％比38％的巨大優(yōu)勢獲勝，試分析這次調查失敗的原因.

答案：失敗的原因如下：

(1)抽樣不是從總體——全體美國選民中抽樣，因為1936年時，美國有私人電話和參加俱樂部的家庭是比較富裕的家庭，以電話簿和俱樂部名單發(fā)信，樣本偏離了總體;

(2)回收率低，問卷的回收率也是一次調查成敗的重要因素.

三、在抽樣調查中，應當注意什么問題.

答：抽樣調查就是通過從總體中抽取一部分個體進行調查，借以獲得對整個總體特征的了解.

所以，如何抽取樣本，直接關系到對總體估計的準確程度，因此抽樣時要保證每一個個體都可能被抽到，每一個個體被抽到的機會是均等的；

要盡可能地避免人為因素的干擾；

同時，還要注意到要盡可能地控制抽樣調查中的誤差.

四、為了檢驗某種產品的質量，決定從40件產品中抽取10件進行檢查，試利用簡單隨機抽樣法抽取樣本，并簡述其抽樣過程.

學生根據環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究簡單隨機抽樣。

學生對比抽簽法與隨機數法，深刻認識簡單隨機抽樣。

學生感受利用樣本平均數估計總體平均數的過程。

學生和教師共同探究完成4個練習題。

通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.

感受簡單隨機抽樣的步驟與優(yōu)缺點，為其他抽樣方法做鋪墊。

通過這個過程，讓學生認識到統計與抽樣的重要性。

通過這4個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神。