有限樣本空間與隨機(jī)事件事件的關(guān)系與運(yùn)算 教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件事件的關(guān)系與運(yùn)算

單元

第十單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步的研究隨機(jī)事件即樣本空間，從而為概率做準(zhǔn)備。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：利用生活實(shí)例判斷并得出事件的關(guān)系；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學(xué)建模：掌握樣本空間、事件的關(guān)系和運(yùn)算；

4.直觀想象：計(jì)算和判斷事件的關(guān)系和運(yùn)算；

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確寫出樣本空間，判斷得出事件的關(guān)系和運(yùn)算；

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)

樣本空間，事件的關(guān)系和運(yùn)算

難點(diǎn)

樣本空間，事件的關(guān)系和運(yùn)算

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

問題導(dǎo)入：

問題一：觀察下列事件，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？

（1）將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；

（2）從你所在的班級隨機(jī)選擇10名學(xué)生，觀察近視眼人數(shù)；

（3）在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；

（4）記錄某地區(qū)7月份的降雨量.

（1）在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行；

（2）所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)。

學(xué)生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容——隨機(jī)試驗(yàn)。

設(shè)置問題情境，回顧上節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

講授新課

新知講授（一）——隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示。

我們通常研究以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。

新知講授（二）——樣本空間

思考一：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0，1，2，...，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼。這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？

根據(jù)球的號(hào)碼，共有10種可能結(jié)果。

如果用m表示“搖出的球的號(hào)碼為m”這一結(jié)果，那么所有可能結(jié)果可用集合表示{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間。

一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)。

（在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況。）

例1、拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫出試驗(yàn)的樣本空間。

解：因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，

所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}

如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，

則樣本空間Ω={h，t}

例2、拋擲一枚骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

解：用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”.

由于落地時(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6，共6個(gè)可能的基本結(jié)果，

所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}.

例3、拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

解：拋兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用

（x,y）表示.

所以試驗(yàn)的樣本空間Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.

如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，

所以試驗(yàn)的樣本空間Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}.

接下來我們用樹狀圖再次理解一下解答過程（圖10.1—1）。

試驗(yàn)的樣本空間的表示方法：

（1）用樹狀圖表示試驗(yàn)結(jié)果；

（2）用集合表示（列舉法）。

小試牛刀

某運(yùn)動(dòng)員射擊打靶，觀察它中靶的環(huán)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

解：用i表示朝上面的“環(huán)數(shù)為i”.

由于環(huán)數(shù)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11個(gè)可能的基本結(jié)果，

所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.

新知講授（三）——隨機(jī)事件

思考二：在體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件？

“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件。

思考三：如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？

用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，

則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1，3，5，7，9之一，

即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1，3，5，7，9}。

因此，可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機(jī)事件A.

同理，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”.

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示。

為了描述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件。

隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,...表示。

在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生。

Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件。

而空集Φ不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱Φ為不可能事件。

必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性。

為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。

每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集。

思考四：事件有哪些分類？

例4、如圖10.1-2，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效。把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常。

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個(gè)元件正?！?/p>

N=“電路是通路”

T=“電路是斷路”

解：（1）分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，

則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用（x1,x2，x3)表示.

同時(shí)，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，

則樣本空間Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

用樹狀圖將所有的可能結(jié)果表示如下（如圖10.1-3）

（2）“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有兩個(gè)為1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“電路是通路”等價(jià)于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一個(gè)是1,

所以N={（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}

同理，“電路是斷路”等價(jià)于（x1,x2，x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0

所以T={（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）}

小試牛刀

1、判斷下列事件的類型？

（1）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面

（2）某地12月12日下雨

（3）如果a>b,那么a-b>0

（4）明天是星期八

解：（1）隨機(jī)事件（2）隨機(jī)事件

（3）必然事件（4）不可能事件

2、拋擲三枚硬幣，可能“正面朝上“，也可能”反面朝上“。把拋擲三枚硬幣朝上的情況看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)現(xiàn)象中朝上的可能性。

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個(gè)正面朝上”

N=“最多一個(gè)正面朝上”

解：（1）分別用x1,x2和x3表示每一枚硬幣的可能狀態(tài)，

則這個(gè)隨機(jī)事件的結(jié)果可用（x1,x2，x3)表示.

同時(shí)，用1表示”正面朝上“，用0表示“反面朝上”，

則樣本空間Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

解：（2）“恰好兩個(gè)正面朝上”等價(jià)于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有兩個(gè)為1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“最多一個(gè)正面朝上”等價(jià)于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中至多有一個(gè)是1,

所以N={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），

（0，0，1）}

新知講授（四）：事件的關(guān)系和運(yùn)算

在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件，如：

Ci=“點(diǎn)數(shù)為i ”，i=1，2，3，4，5，6；

D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”； D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；

E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”; E2=”點(diǎn)數(shù)為2或3“;

F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”； G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；

你能用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

思考一：用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1 ”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：C1={1}和G={1，3，5}

顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生。

用集合表示就是

也就是說，事件G包含事件C1.

一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，

我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作（如下圖10.1-4所示）

特別地，如果事件B包含事件A，事件A

則稱事件A與事件B相等，記作A=B.

思考二：用集合的形式表示事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3 ”、事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}

顯然，事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生。

用集合表示就是

這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件。

一般地，若事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，

我們就稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），

記作

（如下圖10.1-5所示：綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件）

思考三：用集合的形式表示事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2 ”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生。

用集合表示就是

這時(shí)我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件。

一般地，若事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，

我們就稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），

記作

（如下圖10.1-6所示的藍(lán)色區(qū)域）

思考四：用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3 ”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：事件C3={3}，事件C4={4}

顯然，事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生。

即

這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥。

一般地，若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B=Φ

我們就稱事件A與事件B互斥（或互不相容）

（如下圖10.1-7所示）

思考五：用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) ”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

在任何一次試驗(yàn)中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一。

用集合可以表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ

我們稱事件F與事件G互為對立事件。事件D1與D2也有這種關(guān)系。

一般地，若事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ,

我們就稱事件A與事件B互為對立。

事件A的對立事件記作

（如下圖10.1-8所示）

思考六：你能根據(jù)思考一至思考五，你能總結(jié)這些事件之間的關(guān)系嗎？

類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件。

例如，對于三個(gè)事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生，A∩B∩C（或ABC）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生，等等。

例5、如圖10.1-9，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?。設(shè)事件A=“甲元件正?！保珺=“乙元件正?！?。

（1）寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

（2）用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；

（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并說明它們的含義及關(guān)系。

解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，

則可以用（x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)。

以1表示元件正常，0表示元件失效，

則樣本空間Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}

（2）根據(jù)題意，可得

例6、一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球。設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N“兩個(gè)球顏色不同”。

（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；

（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？

（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？

解：（1）所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖10.1.-10所示。

用數(shù)組（x1,x2）表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，

則試驗(yàn)的樣本空間

Ω={（1，2），（1，3），（1，4），

（2，1），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，4），

（4，1），（4，2），（4，3）}

事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2

于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}

事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2

于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}

同理，有于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2），（2，1）,(3，4),(4，3)}

N={（1，3），（1，4）,(2，3),(2，4)，(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}

小試牛刀

1、在某次考試成績中（滿分為100分），下列事件的關(guān)系是什么？

① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ；

② B1={不及格}，B2={60分以下} ；

③ C1={95分以上}，C2={90分～95分}；

④ D1={80分～100分}，D2={0分～80分}。

解：①A2包含A1 ②相等

③互斥 ④對立

2、判斷下面給出的每對事件是否是互斥事件或互為對立事件。

從40張撲克牌（四種花色從1~10 各10 張）中任取一張

①“抽出紅桃”和“抽出黑桃”

②“抽出紅色牌”和“抽出黑色牌”

③“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”和“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”

解：①互斥但不對立

②對立

③既不互斥也不對立

3、從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．

(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．

判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．

解：（1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”互斥但不對立；因?yàn)槌槌黾t桃和抽出黑桃不會(huì)同時(shí)發(fā)生，即互斥；但除了紅桃和黑桃還有方塊和梅花，即不對立。

(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”對立；因?yàn)榧t色牌和黑色牌不可能同時(shí)抽取到，而且只有紅色和黑色兩種顏色的牌，所以對立。

(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”既不互斥也不對立；如果抽出的牌是10，既滿足大于9又滿足是5的倍數(shù)，也就是說可以同時(shí)發(fā)生，所以既不互斥也不對立。

學(xué)生根據(jù)上述問題，探究隨機(jī)試驗(yàn)。

根據(jù)上述推斷得出樣本空間。

利用例題鞏固樣本空間相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

學(xué)生分組合作，探究得出隨機(jī)事件。

通過例題加強(qiáng)理解事件的分類。

利用練習(xí)題，讓學(xué)生對事件類型進(jìn)一步進(jìn)行探索。

探索事件的關(guān)系和運(yùn)算。

總結(jié)、鞏固事件的關(guān)系和運(yùn)算。

通過例題和練習(xí)題，加深學(xué)生對事件的關(guān)系和運(yùn)算的理解。

利用練習(xí)題讓學(xué)生鞏固本節(jié)課的問題。

利用問題情境探究得出隨機(jī)試驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.

給學(xué)生養(yǎng)成先推倒后總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

利用例題鞏固相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)練考的習(xí)慣。

通過分組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神和探索的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內(nèi)容。

利用練習(xí)題讓學(xué)生探究本節(jié)課的問題，讓學(xué)生形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生整體思考的能力。

培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)的能力。

培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)知識(shí)的能力。

理論聯(lián)系實(shí)際，無論是哪部分知識(shí)點(diǎn)，都是來源于生活的實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活。

利用練習(xí)題讓學(xué)生鞏固本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生整體思考的能力。