圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積教學設計

課題

圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積

單元

第八單元

學科

數(shù)學

年級

高二

教材分 析

本節(jié)內容是圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積求法，由上一節(jié)的多面體表面積與體積導入，引出本節(jié)要學的內容。

教 學

目標與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：通過圓的面積推導方法由球的表面積推出其體積公式。

2.邏輯推理：通過例題和練習逐步培養(yǎng)學生將理論應用實際的。

3.數(shù)學建模：本節(jié)重點是數(shù)學中的形在講解時注重培養(yǎng)學生數(shù)形結合能力，有利于數(shù)學建模中數(shù)形結合能力。

4.數(shù)據(jù)分析：通過利用表面積及體積公式解決一些計算問題。

重點

圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積。

難點

圓柱、圓錐、圓臺與球的體積。

教學過程

導入新課

之前已經學過了多面體表面積和體積那么旋轉體的表面積和體積又怎么求呢？

學生思考問題，引出本節(jié)新課內容。

把已學知識與新知建立聯(lián)系，溫故知新。并引出本節(jié)新課內容。

講授新課

1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積

與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個面的面積和。

利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖如圖，可以得到它們的表面積公式：

2.思考1：

圓柱、圓錐、圓臺的表面積之間有什么關系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結構特征來解釋這種關系嗎？

3.練習一

圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方體，那么這個圓柱的側面積是（ ）

A 4πS B 2πS C πS D

4.練習二：

如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，D為BC的中點，H，G分別是BD，CD的中點，若將正三角形ABC繞AD旋轉180，求陰影部分形成的幾何體的表面積．

5. 圓柱、圓錐、圓臺的體積

對于柱體、錐體、臺體的體積公式的認識

(1)等底、等高的兩個柱體的體積相同．

(2)等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關系可以通過實驗得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．

6.思考2：

圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關系？結合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有什么關系？

7.練習三：

圓臺的上、下底面面積分別是π、4π，側面積是6π，這個圓臺的體積是（ ）

8.練習四：

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB與AD的距離分別為1和2，若將ABCD繞y軸旋轉一周，求所得旋轉體的體積．

9.球的表面積和體積

設球的半徑為R,它的表面積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數(shù)。事實上，如果球的半徑為R，那么它的表面積是

10.例一：

如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成的，半球的直徑是0.3m.圓柱高0.6m.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)

解：一個浮標的表面積為

2π*0.15*0.6+4π*0.15=0.8478（m）

所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料

0.8478*0.5*1000=423.9（kg)

11.練習五：

湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球半徑是_____cm,表面積是______cm。

12.思考3：

在小學我們學了圓的面積公式，你還記得是如何求得的嗎？類比這種方法你能由球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？

13.球的體積：

利用圓的周長求圓的面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積。如圖，把球O的表面分成n個小網格，連接球心O和每個小網格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐形”。

14.當n越大，每個小網格越小時，每個“小錐體”的底面就越平?！靶∽刁w”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R，設O-ABCD是其中一個“小椎體”，它的體積是

由于球的體積就是這n個“小椎體”的體積之和，而這n個“小椎體”的底面積之和就是球的表面積。因此，球的體積

15.例二：

如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。

解：設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R。

16.練習六：

在例二的條件下，證明球的表面積等于圓柱的側面積。

17.球的截面問題

一平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為( )

解：如圖，設截面圓的圓心為O’, M為截面圓上任意一點則，.

所以

球的截面性質：

①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關系

18.內接球問題：

設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )

解： 作出圖形的軸截面如圖所示，點O即為該球的球心，線段AB即為長方體底面的對角線，長度為＝ ，線段BC 即為長方體的高，長度為a，線段AC即為長方體的體對角線，

長度為 則球的半徑

所以球的表面積S=4πR=6πa.

19.總結：

（1）.球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為，過在一個平面上的四個切點作截面如圖(1)．

(2).長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，過球心作長方體的對角線，則球的半徑為，如圖(2

（3）正四面體的外接球：正四面體的棱長a與外接球的半徑R的關系為：

20.練習

一、《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思是：“在屋內墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知一斛米的體積約1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放米堆約有（ ）

A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛

二、設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是（ ）

小組討論已知圓柱、圓錐表面積公式怎樣推導圓臺體積公式

已知圓柱、圓錐、圓臺表面積公式思考彼此間關系

獨立完成練習一、練習二

學生小組討論根據(jù)圓柱、圓錐體積公式推導圓臺體積公式

學生獨立思考圓柱、圓錐、圓臺體積公式之間的關系

小組討論例一解決方法

學生獨立思考類比求圓的面積公式如何利用球的表面積公式推導球的體積公式

獨立思考截面問題解決方法，并提問

總結截面問題解決方法

對已學知識進行檢驗。

段煉學生推理能力

培養(yǎng)學生數(shù)形結合能力

對已學知識進行鞏固，段煉其計算能力。

段煉學生推理能力使

使學生宏觀理解三個公式之間的關系

段煉學生類比推理能力

段煉其發(fā)散思維

對學生新知掌握程度有所了解，培養(yǎng)學生理論與實際相結合的能力。