直線與平面的垂直教學設計

課題

直線與平面的垂直

單元

第八單元

學科

數(shù)學

年級

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是空間直線平面垂直，由生活實際立體圖形導入，進而引出本節(jié)要學的內(nèi)容。

教 學

目標與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：通過將實際物體抽象成空間圖形并觀察直線與平面垂直關(guān)系。

2.邏輯推理：通過例題和練習逐步培養(yǎng)學生將理論應用實際的。

3.數(shù)學建模：本節(jié)重點是數(shù)學中的形在講解時注重培養(yǎng)學生立體感及邏輯推理能力，有利于數(shù)學建模中推理能力。

4.空間想象：本節(jié)重點是考查學生空間想象能力。

重點

線面垂直判定、線面夾角、線面垂直性質(zhì)

難點

線面垂直判定、線面夾角、線面垂直性質(zhì)應用

教學過程

導入新課

請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

利用生活實際引出本節(jié)新課內(nèi)容。

講授新課

1.觀察（1）如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面影子BC,旗桿所在直線與影子所在直線的位置關(guān)系是什么？

（2）隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷的變化，旗桿所在直線AB與其影子B’C’所在直線是否保持垂直？

經(jīng)觀察我們知道AB與BC永遠垂直，也就是AB垂直于地面上所有過點B的直線。而不過點B的直線在地面內(nèi)總是能找到過點B的直線與之平行。因此AB與地面上所有直線均垂直。

一般地，如果一條直線與一個平面α內(nèi)所有直線均垂直，我們就說l垂直α，記作l⊥α。

2.定義：

①文字敘述：如果直線l與平面α內(nèi)的所有 直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做交點．

②圖形語言：如圖．

畫直線l與平面α垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．

③符號語言：任意a?α，都有l(wèi)⊥a?l⊥α.

3.思考：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？

答：有一條。經(jīng)實際觀察我們發(fā)現(xiàn)，過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條。

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離。

4.探究線面垂直判定

準備一塊三角形的紙片ABC,過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

容易發(fā)現(xiàn)AD與桌面垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高，這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直。

5.判定定理：

①自然語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

②圖形語言：如圖所示.

③符號語言： l⊥a,l⊥b,且a∩b=P?l⊥α.

6.例一：如圖，直角三角形ABC所在平面外有一點S，且SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．

(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.

證明（1）如圖，取AB中點E,連接SE,DE，在Rt△ABC中，D,E

分別為AC,AB的中點，∴DE//BC且DE⊥AB,∵SA=SB∴△SAB為等腰三角形

∴SE⊥AB又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE∵SD在平面SDE內(nèi)

∴AB⊥SD,在△SAC中∵SA=SC，D為AC中點∴SD⊥AC

∵SD⊥AC，SD⊥AB,AC∩AB=A∴SD⊥平面ABC

（2）∵AB=BC,∵AB=BC,D為斜邊AC中點∴BD⊥AC,由（1）可知SD⊥平面ABC,而BD在平面ABC內(nèi)，∴SD⊥BD∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC

7.練習一

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2

證明：PA⊥平面ABCD

8.思考：兩條相交直線可以確定一個平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？如果改為無數(shù)條呢？

答：兩種說法均不對，第一種反例如圖,而圖中平面內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行，且這些直線均與l垂直，但l在平面α內(nèi)，l不垂直于α。

9.例二

求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面

已知：如圖，a//b，a⊥α，求證b⊥α

證明：如圖，在平面α內(nèi)取兩條相交直線m，n.

∵直線 a⊥α

∴a⊥m,a⊥n

∵b//a

∴b⊥m,b⊥n

又m,n均在平面α內(nèi)且相交

∴b⊥α

10.線面夾角

如圖，一條直線與一個平面α，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足，過斜線上斜足外一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角（0≤θ≤90）

11.練習二：

斜線和平面所成角范圍？

直線和平面所成角的的范圍是多少？

12.例三

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成角

解：如圖連接BC1,B1C, BC1與B1C相交于點O,連接A1O.設正方體棱長為a.

∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥ BC1

又BC1⊥B1C,∴ BC1⊥平面A1DCB1∴A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角

在Rt△A1BO中，A1B= ,BO= ,

∴BO=1/2A1B∴∠BA1O=30

∴直線A1B和平面A1DCB1所成角為30

13.練習三

在三棱錐P-ABC中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若經(jīng)過AB的平面α將棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面α所成角的正弦值為________

求直線和平面所成角的步驟

(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；

(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．

14.探究線面垂直性質(zhì)

（1）在長方體ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間具有怎樣的位置關(guān)系？

（2）如圖，已知直線a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直線a,b一定平行嗎？

解（1）平行（2）一定平行證明如下，設b與a不平行，且b∩α=O.顯然點O不在直線a上，所以點O與直線a可以確定一個平面，在該平面內(nèi)過點O作直線b’//a，則直線b與b’是相交于點o的兩條不同直線，所以直線b與b’可確定平面β，設α∩β=c,則O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因為b’//a，所以b’//c.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點O就有兩條直線b，b’與c垂直，顯然不可能，因此b//a.

15.如圖所示，正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.

證明：如圖所示，連接AB1,B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC在平面ABCD內(nèi)，∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1∵BD1⊥AC同理可證BD1⊥B1C1，∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D//B1C,∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF//BD1

16. 例四如圖，直線l平行于α，求證：直線l上各點到平面α的距離相等

證明：過直線l上任意兩點A,B分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別是A1,B1

∵AA1⊥α，BB1⊥α

∴AA1//BB1

設直線AA1,BB1確定的平面為β，α∩β=A1B1

∵l//α∴l(xiāng)//A1B1

所以四邊形AA1BB1是矩形

∴AA1=BB1

由A,B是直線l上任取的兩點，可知直線l上各點到平面α距離相等。

一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。由例三我們可以進一步得到，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面的距離。

17.練習三

已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120，沿對角線BD將△ABD折起，使二面角A-BD-C為120，則點A到△BCD所在平面的距離為多少？

例五

推導棱臺的體積公式

18.練習

一、已知l，m，n是三條不同直線，α、β是兩個不同平面，下列命題正確的是（ ）

A 若l⊥m，l⊥n，則m//n

B 若m在α內(nèi)，n在β內(nèi)，α//β，則m//n

C 若m在α內(nèi)， n也在α內(nèi)，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,則l⊥α

D 平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α//β

二、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

三、如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，中，點E是棱DD1的中點，點F在棱BB1上，且滿足B1F=2BF

求證：EF⊥A1C1

根據(jù)實例觀察空間中的線面垂直

給出線面垂直定義的三種形式

學生獨立思考例一

小組討論練習一并給出答案

學生獨立完成例二

小組討論例三

學生獨立思考練習三

學生小組探究線面垂直性質(zhì)

學生獨立完成練習

通過具體立體圖形體會線面垂直

培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想

段煉學生解決問題能力

段煉學生獨立解決問題能力

加深對知識的掌握

段煉學生團隊協(xié)作能力

段煉學生對于新知識的掌握

段煉其數(shù)學建模思想

段煉學生獨立解決問題能力