平面與平面垂直教學(xué)設(shè)計

課題

平面與平面的垂直

單元

第八單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，由生活實際立體圖形導(dǎo)入，進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教 學(xué)

目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：通過將實際物體抽象成空間圖形并觀察平面與平面垂直關(guān)系。

2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實際的。

3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

4.空間想象：本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。

重點(diǎn)

平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

難點(diǎn)

平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

豎電線桿時，電線桿所在的直線與地面應(yīng)滿足怎樣的位置呢？為了讓一面墻砌的穩(wěn)固，不易倒塌，不易倒塌，墻面所在的平面與地面又應(yīng)該滿足怎樣的位置關(guān)系呢？

學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

利用生活實際引出本節(jié)新課內(nèi)容。

講授新課

1. 二面角

定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。

記法

棱為l,兩個面分別為α、β的二面角記作α-l-β。

2. 思考：二面角的平面角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎，為什么？

答：無關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).

3.二面角的平面角的特點(diǎn)：

（1)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上

（2)角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)

（3)角的兩邊都與棱垂直

4.例一:已知，如圖所示銳二面角α-l-β，A為面α內(nèi)一點(diǎn)，A到β的距離為2，到l的距離為4.求二面角α-l-β的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步驟：

（1)作二面角的平面角

（2)證明該角為平面角

（3)歸納到三角形求值

簡記：一作、二找、三求解

6.例二：如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。?/p>

解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC內(nèi)∴PA⊥BC

∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC

又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥平面PAC

又PC在平面PAC內(nèi)，∴PC⊥BC

又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角

由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45，

即二面角P-BC-A的大小是45

7.面面垂直定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直，平面α與β垂直，記作α⊥β

8.探究：建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直，如果系有鉛錘的細(xì)繩緊貼墻面，工人師傅被認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面，這種方法說明了什么道理？

這個方法說明，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直。

9.定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

符號語言：l 在α內(nèi)，l⊥β，則α⊥β。

10.例三：如圖所示，在四面體A－BCD中，BD＝ a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求證：平面ABD⊥平面BCD.

總結(jié)：用定義證明兩個平面垂直的步驟

利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直，判定的方法是：

①找出兩個相交平面的平面角；

②證明這個平面角是直角；

③根據(jù)定義，這兩個平面互相垂直．

11.練習(xí)一：如圖所示，在正方體ABCD-ABCD中，求證：平面ABD垂直平面ACCA

證明：∵ABCD-ABCD是正方體

∴AA⊥平面ABCD

∴AA⊥BD

又BD⊥AC

∴BD⊥平面ACCA

∴平面ABD⊥平面ACCA

12.例四：如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓o所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，求證:平面PAC⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC

BC在平面ABC內(nèi)

∴PA⊥BC

∵點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，AB是圓O的直徑

∴∠BCA=90即BC⊥AC

又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中

∴BC在平面PBC內(nèi)

∴平面PAC⊥平面PBC

13.練習(xí)二：如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

證明：平面AB1C⊥平面A1BC1

證明：∵四邊形BCC1B1為梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,

A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C內(nèi)，

∴平面AB1C⊥A1BC1

探究：如圖，設(shè)α⊥β，α∩β=a,則β內(nèi)任意一條直線b與a有什么關(guān)系？相應(yīng)的b與α有什么位置關(guān)系？

證明：顯然b與a平行或相交，當(dāng)b//a時，b//α;當(dāng)b與a相交時，b與α也相交。而當(dāng)b垂直a時，b也垂直α。

14.練習(xí)三：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60，側(cè)面△PAD為等邊三角形.

(1)求證：AD⊥PB；

(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論.

證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖，因為△PAD為等邊三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60，G為AD中點(diǎn)，所以BG⊥AD。又因為BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因為PB屬于平面PGB，所以AD⊥PB。

（2）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時，滿足平面DEF⊥平面ABCD如圖設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF，EF，DE，則在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF屬于平面DEF，DE屬于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD屬于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD

規(guī)律方法證明兩兩垂直常用的方法：

(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直

(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.

15.練習(xí)四：如圖PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證：AB⊥BC

16.探究二：設(shè)平面α⊥平面β，點(diǎn)P在平面α內(nèi)，過點(diǎn)P作平面β的垂線a,直線a與平面α有什么位置關(guān)系？

證明：我們知道，過一點(diǎn)只能做一條直線與已知平面垂直，因此，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線重合。如圖，設(shè)α∩β=c,過點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，b⊥β，因為過一點(diǎn)有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a在α內(nèi)。

17.平面與平面垂直性質(zhì)

例五：如圖，已知平面α垂直平面β，直線a⊥β，a不在α內(nèi)，判斷a與α的位置關(guān)系。

解：在α內(nèi)作垂直于α與β的直線b

∵α⊥β，∴b⊥β

又a⊥β∴a//b

又a不在α內(nèi)

∴a//α

即直線a與平面α平行

例六：如圖，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證：BC⊥平面PAB

證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PB,垂足為E

∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC

∴AE⊥平面PBC

∵BC在平面PBC內(nèi)∴AE⊥BC

∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)

∴PA⊥BC又PA∩AE=A

∴BC⊥平面PAB

18.例七：如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；

(2)求證：AD⊥PB.

證明（1）連接BD，如圖，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60∴△ABD為正三角形又∵G是AD的中點(diǎn)∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD內(nèi)，∴BG⊥平面PAD

（2）∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD

由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB

總結(jié)：應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，應(yīng)注意三點(diǎn)：

①兩個平面垂直是前提條件；

②直線必須在其中一個平面內(nèi)；

③直線必須垂直于它們的交線.

19.練習(xí)

一、如圖所示，四棱錐P-ABCD是菱形，∠BCD=60，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD。證明：平面PBE⊥平面PAB

二、在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD

證明：AB⊥平面VAD

根據(jù)實例觀察空間中的面面垂直

給出二面角特點(diǎn)

學(xué)生獨(dú)立思考例二

小組討論探究一并給出答案

學(xué)生獨(dú)立完成例三

小組討論例四

學(xué)生獨(dú)立思考練習(xí)二

學(xué)生小組探究面面垂直性質(zhì)

學(xué)生獨(dú)立思考探究二

學(xué)生獨(dú)立完成例五

通過具體立體圖形體會面面垂直

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

段煉學(xué)生解決問題能力

段煉學(xué)生獨(dú)立解決問題能力

加深對知識的掌握

段煉學(xué)生團(tuán)隊協(xié)作能力

段煉學(xué)生對于新知識的掌握

段煉其數(shù)學(xué)建模思想

鍛煉其思考及總結(jié)能力

段煉學(xué)生獨(dú)立解決問題能力

加強(qiáng)對知識的掌握