平面與平面平行教學設(shè)計

課題

平面與平面平行

單元

第八單元

學科

數(shù)學

年級

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面平行，由生活實例導入，進而引出本節(jié)要學的內(nèi)容。

教 學

目標與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：通過將實際物體抽象成空間圖形并觀察平面與平面平行關(guān)系。

2.邏輯推理：通過例題和練習逐步培養(yǎng)學生將理論應(yīng)用實際的。

3.數(shù)學建模：本節(jié)重點是數(shù)學中的形在講解時注重培養(yǎng)學生立體感及邏輯推理能力，有利于數(shù)學建模中推理能力。

4.空間想象：本節(jié)重點是考查學生空間想象能力。

重點

平面與平面平行判定，平面與平面平行性質(zhì)

難點

平面與平面平行判定定理應(yīng)用，平面與平面平行性質(zhì)定理應(yīng)用

教學過程

導入新課

上一節(jié)我們知道了如何證明線面平行及線面平行的性質(zhì)，那么面面平行如何證明又有怎樣的性質(zhì)呢？

學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

問題導入引出新知。

講授新課

1.探究：根據(jù)基本事實的推論2,3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個平面，由此可以想到，如果一個平面內(nèi)有兩條相交或平行直線都與另一個平面平行，是否就能使這兩個平面平行？

如圖（1），a和b分別是矩形硬紙板的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙板和桌面平行嗎？

如圖（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺與桌面平行嗎？

根據(jù)實例觀察體會面面平行

段煉學生空間想象能力

講授新課

2.如果一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，這兩個平面不一定平行。我們借助長方體模型來說明。如圖，在平面A’ADD’內(nèi)畫一條與AA’平行的直線EF,顯然AA’與EF都平行于平面DD’CC’,但這兩條平行直線所在平面AA’DD’與平面DD’CC’相交。

3.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，這兩個平面是平行的，如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線A’C’,B’D’平行。由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC,BD都與平面A’B’C’D’平行，此時平面ABCD平行平面A’B’C’D’

定理：如果一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。

符號表示為：

4.練習一：

判斷下列命題是否正確

（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α與β平行（ ）

（2）若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則α與β平行（ ）

（3）一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于β平面，則α與β平行（ ）

（4）如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（ ）

5.例一

已知正方體如圖，求證：AB1D1//平面BC1D

證明：∵幾何體是正方體

∴ D1C1⊥A1B1 且D1C1//A1B1,AB⊥A1B1且AB//A1B1

∴ D1C1⊥AB且D1C1//AB∴四邊形D1C1BA為平行四邊形

∴ D1A//C1B又D1A不在平面BC1D內(nèi)C1B在平面 BC1D內(nèi)

∴D1A//平面BC1D同理D1B1//平面BC1D

又D1A∩D1B1=D

∴平面AB1D1//平面BC1D

6.練習二

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥CD,E,F分別為棱PC,CD的中點，AB=3,CD=6,且AC=

證明：平面PAD//平面BEF

7.總結(jié)

證明兩個平面平行一般步驟

一：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線

二：證明兩條相交直線分別平行于另一個平面

三：利用判定定理得結(jié)論

8.思考：如果兩個平面平行，會有哪些結(jié)論呢？

探究一：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關(guān)系？

答：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。

9.探究二：如果兩個平面平行，兩個平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？

答：借助長方體模型探究得出結(jié)論，如果兩個平面平行，那么兩個平面內(nèi)的直線要么是異面直線，要么是平行直線。

10.探究三：當?shù)谌齻€平面和兩個平行平面都相交時，兩條交線有什么關(guān)系？為什么？

答：平行，證明如下。

如圖平面α//β，平面γ分別與α，β相交于直線a,b

因為α∩γ=a,β∩γ=b

所以a在α內(nèi)，b在β內(nèi)

∴a，b沒有公共點

又a,b同在平面γ內(nèi)

∴a//b

定理： 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行。

11. 練習三

①已知：α//β，l∩α=A證明：l與β相交

證明：在β上取一點B,過l和B作平面γ，由于γ和α有公共點A,

由于γ和β有公共點B,所以γ與α，β都相交，設(shè)γ∩α=a,γ∩β=b,

因為α//β，所以a//b，又因為l,a，b都在平面γ內(nèi)，且l與a相交于A,所l與b相交，所以l與β相交。

②如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ與平面PAO平行？

解：如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點M在AA1上，

由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.

假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.

因為P為DD1的中點，所以Q為CC1的中點．

故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.

總結(jié)：.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

.平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可

(1)兩個平面平行，即α∥β.

(2)第一個平面與第三個平面相交，即α∩γ＝a.

(3)第二個平面與第三個平面也相交，即β∩γ＝b.

三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示

12.例二

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等

證明：如圖，α//β，AB//CD,且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證AB=CD

證明：過平行線AB,CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD

∵α//β∴BD//AC

又AB//CD∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD

13.總結(jié)：

兩個平面平行具有如下的一些性質(zhì)：

（1）如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行

（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

（3）夾在兩個平行面間的所有平行線段相等

（4）一條直線與平行平面中的一個平面相交，則其必與另一個平面也相交

14.練習

一、平面α與平面β平行的充分條件是

A α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行

B 直線a//α，a//β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)

C 直線a ,直線b,且a//β，b//α

D α內(nèi)的任何一條直線都與β平行

二、判斷下列命題是否正確

（1）若一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面β，則α//β

（2）平行于同一條直線的兩個平面平行

（3）平行于同一個平面的兩個平面平行

（4）一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交

三、兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關(guān)系

A 兩兩相互平行

B 兩兩相交于一點

C 兩兩相交但不一定交于同一點

D 兩兩相互平行或交于同一點

四、如圖三棱錐P-ABC，D,E,F分別是棱PA，PB，PC上的點，PD/PA=PE/PB=PF/PC 求證：平面DEF//平面ABC

證明：因為PD/PA=PE/PB,所以DE//AB.又因為DE不在平面ABC內(nèi)，所以DE//平面ABC同理EF//平面ABC。

又因為DE∩EF=E,所以，平面EDF//平面ABC.

學生獨立完成練習一

學生獨立思考例一

學生獨立思考練習二

讓學生總結(jié)證明面面平行的步驟

小組討論探究二并給出答案

做一做

學生獨立完成例二

獨立完成練習

平面與平面平行判定

平面與平面平行判定定理應(yīng)用，段煉學生解決問題能力，培養(yǎng)其空間想象能力

加深學生對基本定理的理解，段煉其邏輯推理能力

段煉學生空間想象能力

段煉學生總結(jié)能力，有助有數(shù)學建模

加深對知識的掌握

探究平面與平面平行的性質(zhì)定理

平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

培養(yǎng)其邏輯推理能力

加深對本節(jié)新知的掌握