直線與直線垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

直線與直線垂直

單元

第八單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級(jí)

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是空間直線與直線垂直，由常見立體圖形導(dǎo)入，進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教 學(xué)

目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：通過將實(shí)際物體抽象成空間圖形并觀察直線與直線垂直關(guān)系。

2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。

3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

4.空間想象：本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。

重點(diǎn)

直線與直線垂直，異面直線夾角

難點(diǎn)

直線與直線垂直判定，求異面直線夾角

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

前面我們認(rèn)識(shí)了空間直線的平行關(guān)系，那么空間中的垂直又是什么樣的呢?

學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

問題導(dǎo)入引出新知。

講授新課

1.探究：如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中，直線A’C’與直線AB,直線A’D’與直線AB都是異面直線，直線A’C’與A’D’相對(duì)于直線AB的位置關(guān)系相同嗎？

根據(jù)實(shí)例觀察體會(huì)線線垂直

段煉學(xué)生空間想象能力

講授新課

不同

2.異面直線夾角：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O分別作a’//a，b’//b,我們把a(bǔ)’與b’所成角叫做異面直線a與b所成角（或夾角）

3.如果兩條異面直線夾角為90，那我們就說這兩條異面直線互相垂直。記作a⊥b當(dāng)兩條直線平行時(shí)規(guī)定所成角為0。所以異面直線所成角范圍0≤α≤90

4.想一想：在平面幾何中，垂直于同一直線的兩直線互相平行，在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

不成立反例如圖。

5.練習(xí)一

1.異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)，即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同.( )

2.異面直線a與b所成角可以是0.( )

3.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直.( )

注意： 1.異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置無關(guān).

2. 當(dāng)直線a與b所成角是0時(shí)，兩直線平行，即共面.

例一：如圖，已知正方體ABCD-A’B’C’D’

（1）哪些棱所在直線與直線AA’垂直？

（2）求直線BA’與CC’所成角的大小

（3）求直線BA’與AC所成角的大小

解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直線分別與AA’垂直。

（2）因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’為直線BA’與CC’所成的角。又因?yàn)椤螦’BB’=45，所以直線BA’與CC’所成角等于45。

（3）如圖，連接A’C’,因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體，所以AA’//CC’且AA’=CC’,從而四邊形AA’CC’是平行四邊形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’為異面直線BA’與AC所成的角。連接BC’,易知△A’BC’是等邊三角形，所以∠BA’C’=60。從而異面直線BA’與AC所成角等于60。

求兩條異面直線所成的角的一般步驟

(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角.

(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形.

(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.

6.例二：如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中，O’為底面A’B’C’D’的中心，求證：AO’⊥BD

證明：如圖，連接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方體

∴BB’//DD’,BB’=DD’

∴四邊形BB’DD’是平行四邊形

∴B’D’//BD

∴直線AO’與B’D’所成角即為直線AO’與BD所成角

連接AB’,AD’易證AB’=AD’

又O’為底面A’B’C’D’的中心∴O’為B’D’的中點(diǎn)

∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD

7.例三

如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).若BD，AC所成的角為60，且BD＝AC＝2.求EF的長度.

解：取BC中點(diǎn)O,連接OE,OF，如圖。

∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE與OF所成的銳角就是AC與BD所成的角

∵BD,AC所成角為60，∴∠EOF=60或120∵BD=AC=2,

∴OE=OF=1當(dāng)∠EOF=60時(shí)，EF=OE=OF=1,當(dāng)∠EOF=120時(shí)，取EF的中點(diǎn)M,連接OM,則OM⊥EF,且∠EOM=60∴EM= ,∴EF=2EM=

8.練習(xí)二

如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中AB與CD的位置關(guān)系為（ ）

A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能確定

解：由題,則正方體的直觀圖如圖所示,

易知, AB與CD既不平行,也不相交,

故選:C

9.練習(xí)三

四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_______

解：畫出圖如圖所示，將AP平移到BE的位置，連接DE，則角DBE即是兩條異面直線所成的角.由于三角形BDE為等邊三角形，故兩條異面直線所成的角為60

10.利用勾股定理證直線與直線垂直

在棱長為4的正四面體ABCD中，求異面直線AB和CD所成的角

解：取BC中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)F,連接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB

∴∠EMF即異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角

MF=ME=2，EF=

∴MF+ME=EF

∴∠EMF=90

∴異面直線AB和CD的夾角是90。

11.練習(xí)四

如圖，在正方體中，N,M,P分別是A1B1 ,CC1，AD的中點(diǎn)，則異面直線D1N 與MP所成角的大小是（ ）

A 90 B 60 C 45 D 30

課堂練習(xí)

一、已知長方體ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1則異面直線A1B1與AC1所 成 角 的 余 弦 值 為________

二、已知點(diǎn)M、N分別為正方體ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’與AA’的中點(diǎn)，平面DNM與平面ABCD的交線記為l,則l與C’M所成角的大小為______

三、在正方體ABCD-A’B’C’D’中，直線AC’與B’D’的夾角是多少？

探究異面直線夾角

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)一

學(xué)生獨(dú)立思考例一

讓學(xué)生總結(jié)求異面直線夾角的步驟

學(xué)生獨(dú)立思考例二

小組討論例三并給出答案

做一做

掌握異面直線所成角范圍

段煉學(xué)生解決問題能力，培養(yǎng)其空間想象能力

段煉學(xué)生空間想象能力

段煉學(xué)生總結(jié)能力，有助有數(shù)學(xué)建模

加深對(duì)知識(shí)的掌握

培養(yǎng)其邏輯推理能力

通過練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。