直線與圓的位置關系教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.

B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

1.數學抽象：直線與圓的位置關系

2.邏輯推理：判斷直線與圓的位置關系

3.數學運算：判斷直線與圓的位置關系

4.數學建模：直線和圓的方程解決實際問題

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

“海上生明月，天涯共此時?！保磉_了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現著迷人的風采.

這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現了直線與圓的三種位置關系:相交、相切和相離.

在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關系，前面我們學習了直線的方程，圓的方程，已經用方程研究兩條直線的位置關系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的位置關系。

二、探究新知

直線與圓的位置關系的判斷方法

直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關系及判斷

點睛：幾何法更為簡潔和常用.

1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關系是( )

A.相交 B.相切

C.相離 D.相切或相交

解析:圓心到直線的距離為d==1<4,所以直線與圓相交.

答案:A

三、典例解析

例1 已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.

當m為何值時,直線與圓

(1)有兩個公共點;

(2)只有一個公共點;

(3)沒有公共點?

思路分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個數判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.

解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,

得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.

∵Δ=4m(3m+4),∴當Δ>0,即m>0或m<-時,直線與圓相交,

即直線與圓有兩個公共點;

當Δ=0,即m=0或m=-時,直線與圓相切,即直線與圓只有一個公共點;

當Δ<0,即-

(方法2)已知圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離d=.

當d<2,即m>0或m<-時,直線與圓相交,即直線與圓有兩個公共點;

當d=2,即m=0或m=-時,直線與圓相切,即直線與圓只有一個公共點;

當d>2,即-

直線與圓的位置關系的判斷方法

直線與圓的位置關系反映在三個方面:

一是點到直線的距離與半徑大小的關系;

二是直線與圓的公共點的個數;

三是兩方程組成的方程組解的個數.

因此,若給出圖形,可根據公共點的個數判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數法,幾何法計算量小,代數法可一同求出交點.解題時可根據條件作出恰當的選擇.

例2 過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.

思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,

進而求出切線方程.

解:因為(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點A在圓外.

(1)若所求切線的斜率存在,設切線斜率為k,

則切線方程為y+3=k(x-4).

因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,

所以=1,即|k+4|=,

所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切線方程為y+3=-(x-4),

即15x+8y-36=0.

(2)若直線斜率不存在,

圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,

這時直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.

綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.

變式探究 過點Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程.

解:容易判斷點Q(3,0)在圓外.設切線的方程為y=k(x-3),

即kx-y-3k=0.又圓的圓心為(0,0),半徑為2,

所以=2,解得k=,

所以所求切線方程為y=(x-3).

切線方程的求法

1.求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關系,切線斜率為-,由點斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或x=a.

2.求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解

設切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數形結合求出.

例3 求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.

思路分析:解法一求出直線與圓的交點坐標,解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.

解法一由得交點A(1,3),B(2,0),

故弦AB的長為|AB|=.

解法二由

消去y,得x2-3x+2=0.

設兩交點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),

則由根與系數的關系,得x1+x2=3,x1x2=2.∴|AB|=,

即弦AB的長為.

解法三圓C:x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,

其圓心坐標(0,1),半徑r=,

點(0,1)到直線l的距離為d=,

所以半弦長為,

所以弦長|AB|=

求直線與圓相交時弦長的兩種方法

(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點,設弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有()2+d2=r2,即|AB|=2圖①

(2)代數法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設直線與圓的兩交點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直線l的斜率k存在).圖②

跟蹤訓練1 已知直線l經過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,且與直線x+y-2=0垂直.

(1)求直線l的方程;

(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為2 ,求圓C的標準方程.

解:(1)由已知得:解得

∴兩直線交點為(2,1).

設直線l的斜率為k1,∵l與x+y-2=0垂直,∴k1=1,

∵l過點(2,1),∴l(xiāng)的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;

(2)設圓的半徑為r,依題意,

圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為,

則由垂徑定理得r2=()2+()2=4,∴r=2,

∴圓的標準方程為(x-3)2+y2=4.

例3．如圖，臺風中心從地以每小時千米的速度向東北方向（北偏東）移動，離臺風中心不超過千米的地區(qū)為危險區(qū)域.城市在地的正東千米處.請建立恰當的平面直角坐標系，解決以下問題：

(1)求臺風移動路徑所在的直線方程；

(2)求城市處于危險區(qū)域的時間是多少小時？

【解析】（1）以為原點，正東方向為軸建立如圖所示的平面直角坐標系

則臺風中心的坐標是，臺風移動路徑所在直線斜率為：

臺風移動路徑所在的直線方程為：

（2）以為圓心，千米為半徑作圓，圓和直線相交兩點，則臺風中心移到時，城市開始受臺風影響(危險區(qū))，直到時，解除影響

點到直線的距離：

，又（小時）

城市處于危險區(qū)內的時間是小時

通過具體的情景，幫助學生回顧初中幾何中學習過的直線與圓的位置關系，同時提出運用方程思想解法問題的方法。

通過典例解析，幫助學生進一步熟悉兩種基本方法，判斷直線與圓的位置關系。發(fā)展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中掌握求圓的切線方程的方法，即：代數法與幾何法。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

通過與直線與圓位置關系的應用問題，提升學生數學建模，數形結合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關系是( )

A.過圓心 B.相切

C.相離 D.相交但不過圓心

解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=

答案:D

2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是( )

A.0或2 B.2 C. D.或2

解析:∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離,解得m=2(舍去0).故選B.

答案:B

3.經過點M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為.

解析:易知點M在圓上,所以M為切點,切點和圓心連線斜率k=,

則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),

即2x+y-5=0.

答案:2x+y-5=0

4.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|= .

解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,

圓心到直線y=x+1的距離d=,

所以弦長|AB|=2=2=2.

答案:2

5．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當水面在圖位置m時,拱頂離水面2 m,水面寬 12 m,當水面下降1 m后,水面寬多少米?

【解析】以圓拱拱頂為坐標原點,以過拱頂的豎直直線為y軸,建立直角坐標系,

設圓心為C,水面所在弦的端點為A、B,則由已知得A(6,-2).設圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①

將點A的坐標為(6,-2)代入方程①,解得r=10.

∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②

當水面下降1米后,可設點A′的坐標為(x0,-3)(x0＞3),

將A′的坐標(x0,-3)代入方程②,求得.

∴水面下降1米后,水面寬為

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。