直線的一般式方程教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.了解直線的一般式方程的形式特征，理解直線的一般式方程與二元一次方程的關系；

2.能正確地進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化；

3.能運用直線的一般式方程解決有關問題.

1.數(shù)學抽象：一般式方程與二元一次方程的關系

2.邏輯推理：直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化

3.數(shù)學運算：運用直線的一般式方程解決有關問題

4.直觀想象：直線與方程的關系

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

問題：由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形.

(1)斜率是1,經(jīng)過點A(1,8);

(2)在x軸和y軸上的截距分別是-7,7;

(3)經(jīng)過兩點P1(-1,6),P2(2,9);

(4)在y軸上的截距是7,傾斜角是45.

(1)y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7.如果我們畫出這4條

直線的圖象,你會驚奇地發(fā)現(xiàn):這4條直線是重合的.事實上,它們的方程都可以化簡為x-y+7=0.這樣前幾種直線方程就有了統(tǒng)一的形式,這就是本節(jié)我們要學習的直線的一般式方程.

同學們,根據(jù)前面我們學習的直線方程形式,分別利用點斜式、截距式、兩點式和斜截式,可得到四種情況下的直線方程分別為

二、探究新知

1.直線的一般式方程

(1)．在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的_____________；任何關于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直線方程的一般式．

二元一次方程; 一條直線; Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同時為0)

(2)．直線一般式方程的結構特征

①方程是關于x，y的二元一次方程．

②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y常數(shù)的先后順序排列．

③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)．

④雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程．

2.直線的一般式方程與其他形式的互化

1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線

(1)平行于x軸;(2)平行于y軸;(3)與x軸重合;(4)與y軸重合.

答案:當A=0時,方程變?yōu)閥=-,當C≠0時表示的直線平行于x軸,當C=0時與x軸重合;當B=0時,方程變?yōu)閤=-,當C≠0時表示的直線平行于y軸,當C=0時與y軸重合.

2.直線方程2x+3y+1=0化為斜截式為 ;

化為截距式為 .

解析:方程化為3y=-2x-1,則y=-x-;

方程化為2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即=1.

答案:y=-x; =1

3.兩條直線的位置關系

3.判斷下列兩組直線是否平行或垂直:

(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.

(2)4x-y+3=0, 3x+12y-11=0.

解:(1)∵14-22=0且2(-7)-4(-7)≠0,∴兩直線平行.

(2)∵43+(-1)12=0,∴兩直線垂直.

三、典例解析

例1 根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.

(1)斜率是,且經(jīng)過點A(5,3);

(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;

(3)經(jīng)過A(-1,5),B(2,-1)兩點;

(4)在x軸、y軸上的截距分別是-3,-1.

思路分析:先選擇合適的形式將直線方程寫出來,再化為一般式.

解:(1)由點斜式方程可知,所求直線方程為y-3=(x-5),化為一般式方程為x-y+3-5=0.

(2)由斜截式方程可知,所求直線方程為y=4x-2,

化為一般式方程為4x-y-2=0.

(3)由兩點式方程可知,

所求直線方程為,

化為一般式方程為2x+y-3=0.

(4)由截距式方程可得,所求直線方程為=1,化為一般式方程為x+3y+3=0.

直線的一般式方程的特征

求直線方程時,要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù);一般按含x項、含y項、常數(shù)項的順序排列.

跟蹤訓練1 根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.

(1)斜率是-,經(jīng)過點A(8,-2);

(2)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸;

(3)在x軸和y軸上的截距分別是,-3;

(4)經(jīng)過兩點P1(3,-2),P2(5,-4).

解:(1)由點斜式方程,得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0.

(2)由點斜式方程,得y-2=0.

(3)由截距式方程,得=1,即2x-y-3=0.

(4)由兩點式方程,得,即x+y-1=0.

【例2】 (1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數(shù)m的值;

(2)已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數(shù)a的值.

思路分析:利用在一般式方程下,兩直線平行或垂直的條件求解.解:(1)由23-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.

當m=-3時,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,

顯然l1與l2不重合,∴l(xiāng)1∥l2.

同理,當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合,l1∥l2,

故m的值為2或-3.

(2)由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1.

故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2.

延伸探究已知點A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.

求:(1)過點A和直線l平行的直線方程;

(2)過點A和直線l垂直的直線方程.

解:(1)將與直線l平行的直線方程設為3x+4y+C1=0,

又過點A(2,2),所以32+42+C1=0,所以C1=-14.

所求直線方程為3x+4y-14=0.

(2)將與l垂直的直線方程設為4x-3y+C2=0,

又過點A(2,2),所以42-32+C2=0,所以C2=-2,

所以直線方程為4x-3y-2=0.

1．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略

直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

2．與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法

(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)．

(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.

跟蹤訓練 2 已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l的方程,l滿足

(1)過點(-1,3),且與l平行;

(2)過點(-1,3),且與l垂直.

思路分析:可先求斜率,再利用點斜式方程求解;也可利用平行、垂直直線系方程,利用待定系數(shù)法求解.

解:(方法1)由題設l的方程可化為y=-x+3,∴l(xiāng)的斜率為-.

(1)∵直線l與l平行,∴l(xiāng)的斜率為-.

又∵直線l過(-1,3),由點斜式知方程為y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.

(2)由l與l垂直,∴l(xiāng)的斜率為,

又過(-1,3),由點斜式可得方程為y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.

(方法2)(1)由l與l平行,可設l方程為3x+4y+m=0.

將點(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直線方程為3x+4y-9=0.

(2)由l與l垂直,可設其方程為4x-3y+n=0.將(-1,3)代入上式得n=13.

∴所求直線方程為4x-3y+13=0.

金題典例 (1)設直線l的方程為(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直線l不過第三象限，則a的取值范圍為________．

(2)設直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：

①直線l的斜率為－1；

②直線l在x軸，y軸上的截距之和等于0.

解析：(1)[1，＋∞)

把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第三象限，該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．

即解得a≥1. 所以a的取值范圍為[1，＋∞)．

(2)①因為直線l的斜率存在，

所以直線l的方程可化為y＝－x＋2.由題意得－＝－1，解得k＝5.

②直線l的方程可化為＋＝1.由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

變式探究：1.典例(1)中若將方程改為“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他條件不變，又如何求解？

[解] (1)當a－1＝0，即a＝1時，直線為x＝3，該直線不過第三象限，符合．

(2)當a－1≠0，即a≠1時，直線化為斜截式方程為y＝x－，因為直線l不過第三象限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．

即解得a＞1.

由(1)(2)可知a≥1.

2．若典例(1)中的方程不變，當a取何值時，直線不過第二象限？

[解] 把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第二象限，故該直線的斜率大于等于零，且直線在y軸上的截距小于等于零．即解得a≤－2.

直線恒過定點的求解策略

(1)將方程化為點斜式，求得定點的坐標.

(2)將方程變形，把x，y作為參數(shù)的系數(shù)，因為此式子對任意的參數(shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得x，y的值，即為直線過的定點.

通過求解4個條件下的直線方程，體會不同直線方程的適用條件，及時提出問題，讓學生體會學習直線方程一般式的必要性。

理解直線一般式的方程特點，能進行直線方程間的互化。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生加深對直線一般式的理解和應用。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進一步靈活運用直線一般式，并能合理選擇直線的方程形式，解決相關問題。

三、達標檢測

1．思考辨析

(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)可表示平面內(nèi)的任何一條直線．( )

(2)當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)表示的直線過原點．( )

(3)當B＝0，A≠0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與y軸平行．( )

(4)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．( )

答案 (1)√ (2)√ (3) 當C＝0時，直線與y軸重合．

(4) 當直線與坐標軸平行或重合時，不能轉(zhuǎn)化為截距式或斜截式．

2.兩直線ax-by-1=0(ab≠0)與bx-ay-1=0(ab≠0)的圖象可能是圖中的哪一個( )

解析:當a<0,b>0時,直線ax-by=1在x軸上的截距<0,在y軸上的截距-<0;bx-ay=1在x軸上的截距>0,在y軸上的截距->0.只有B滿足.故選B.

答案:B

3．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( )

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y＝2＝0 D．x＋2y－1＝0

答案A

解析：設所求直線方程為x－2y＋c＝0，把點(1,0)代入可求得c＝－1.

所以所求直線方程為x－2y－1＝0.故選A.

4．已知兩條直線y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，則a＝________.

答案：1或－3

解析：依題意得：a(a＋2)＝31，解得a＝1或a＝－3.

5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．

(1)求實數(shù)m的范圍；

(2)若該直線的斜率k＝1，求實數(shù)m的值．

解析： (1)由解得m＝2，

若方程表示直線，則m2－3m＋2與m－2不能同時為0，故m≠2.

(2)由－＝1，解得m＝0.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。