圓與圓的位置關系教學設計

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日。日食只在月球與太陽呈現合的狀態(tài)時發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。

我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的?

前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系。

二、探究新知

圓與圓的位置關系的判定方法

1.幾何法:

圓O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圓O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0),

兩圓的圓心距d=|O1O2|=,則有

2.代數法:圓O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圓O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),兩圓的方程聯立得方程組,則有

1. 判斷下列兩圓的位置關系:

①(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16.

②x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.

解:①根據題意得,兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距

d==5.

因為d=r1+r2,所以兩圓外切.

②將兩圓的方程化為標準方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,

故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6.

兩圓的圓心距

d==3,因為|r1-r2|

三、典例解析

例1 已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).試求a為何值時,兩圓C1,C2的位置關系為:

(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內含?

思路分析:求出圓心距,與兩半徑的和或差比較求出a的值.

解:圓C1,C2的方程,經配方后可得

C1:(x-a)2+(y-1)2=16,

C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,

∴圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.

∴|C1C2|==a.

(1)當|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切;

當|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時,兩圓內切.

(2)當3<|C1C2|<5,即3

(3)當|C1C2|>5,即a>5時,兩圓外離.

(4)當|C1C2|<3,即0

判斷兩圓的位置關系的兩種方法

(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關系;

(2)代數法:把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題,轉化為方程組的解的組數問題.

跟蹤訓練1 若兩圓x2+y2=a與x2+y2+6x-8y-11=0內切,則a的值為 .

解析:∵x2+y2=a表示一個圓,∴a>0.

兩圓的圓心、半徑長分別為(0,0),與(-3,4),6.

由于兩圓內切,則=|-6|,

解得a=121或a=1.

答案:121或1

例2已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.

(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;

(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.

思路分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據半徑、弦心距、弦長的關系求出弦長.

(2)可求出兩圓的交點坐標,結合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心坐標與半徑,也可利用圓系方程求解.

解:(1)設兩圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點坐標是方程組的解.

①-②,得x-y+4=0.

∵A,B兩點坐標都滿足此方程,

∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.

又圓C1的圓心(-3,0),r=,

C1到直線AB的距離為d=,

∴|AB|=2=2=5,

即兩圓的公共弦長為5.

(2)(方法1)解方程組

得兩圓的交點A(-1,3),B(-6,-2).

設所求圓的圓心為(a,b),因圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.

則,

解得a=,故圓心為,-,半徑為.

故圓的方程為(x-)2+(y+)2=,

即x2+y2-x+7y-32=0.

(方法2)設所求圓的方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),

其圓心為(-,-),代入x-y-4=0,解得λ=-7.

故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.

相交弦及圓系方程問題的解決

1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時,才能如此求解,否則應先調整系數.

2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯立兩圓方程求出交點坐標,再用距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解.

3.已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則過兩圓交點的圓的方程可設為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).

跟蹤訓練1 兩圓相交于兩點A(1,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的

值為 .

解析:由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直,

∴kAB1=-1.即=-1,得m=5,∴AB的中點坐標為(3,1).

AB的中點在直線x-y+c=0上,

∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.

答案:3

例3求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+y=0相切于點M(3,-)的圓的方程.

思路分析:設圓的方程,利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得.

解:設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切,

則=r+1.①

又所求圓過點M的切線為直線x+y=0,

故.② =r.③

解由①②③組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.

故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.

變式探究1 將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過點(3,- )的圓的方程”,如何求?

解:因為圓心在x軸上,

所以可設圓心坐標為(a,0),設半徑為r,

則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,

又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-),

所以 解得

所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.

又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-),

所以 解得

所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.

變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,試求實數m的值.

解:圓x2+y2-2x=0的圓心為A(1,0),半徑為r1=1,

圓x2+y2-8x-8y+m=0的圓心為B(4,4),

半徑為r2=.因為兩圓相外切,

所以=1+,解得m=16.

通過具體的情景，幫助學生回顧初中幾何中已學的圓與圓的位置關系，同時類比直線與圓的位置關系的研究方法。

通過典例解析，幫助學生進一步熟悉兩種基本方法，判斷圓與圓的位置關系。發(fā)展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中掌握判斷圓與圓位置關系的方法，即：代數法與幾何法。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

通過圓與圓位置關系的綜合問題，提升學生數學建模，數形結合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關系是( )

A.內切 B.相交 C.外切 D.外離

解析:圓x2+y2-1=0表示以O1(0,0)點為圓心,以R1=1為半徑的圓.

圓x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)點為圓心,以R2=3為半徑的圓.

∵|O1O2|=,∴R2-R1<|O1O2|

∴圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0相交.

答案:B

2.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直線方程是 .

解析:兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3y-2=0.

答案:4x+3y-2=0

3.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內切,則此圓的方程為( )

A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x4)2+(y-6)2=16

C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x4)2+(y-6)2=36

解析:設所求圓心坐標為(a,b),則|b|=6.由題意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.

若b=6,則a=4;若b=-6,則a無解.故所求圓方程為(x4)2+(y-6)2=36.

答案:D

4.若圓C1:x2+y2=4與圓C2:x2+y2-2ax+a2-1=0內切,則a等于 .

解析:圓C1的圓心C1(0,0),半徑r1=2.圓C2可化為(x-a)2+y2=1,即圓心C2(a,0),半徑r2=1,若兩圓內切,需|C1C2|==2-1=1.解得a=1. 答案:1

5. 已知兩個圓C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直線l:x+2y=0,求經過C1和C2的交點且和l相切的圓的方程.

解:設所求圓的方程為x2+y2+4-2x-4y+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0.

所以圓心為,

半徑為,

即.

解得λ=1,舍去λ=-1,圓x2+y2=4顯然不符合題意,故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。