圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.理解圓的一般方程及其特點(diǎn).

B.掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化.

C.會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題．

1.數(shù)學(xué)抽象：二元二次方程與圓的一般方程

2.邏輯推理：圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求圓的一般方程

4.數(shù)學(xué)建模：圓的一般方程的特點(diǎn)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

前面我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,現(xiàn)將其展開

可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可見,任何一個圓的方程都可以變形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

請大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線是不是圓?下面我們來探討這一方面的問題.

二、探究新知

例如,對于方程對其進(jìn)行配方，得,因?yàn)槿我庖稽c(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個方程，所以這個方程不表示任何圖形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通過恒等變換為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圓的方程.

一、圓的一般方程

（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓,

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得

（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一個點(diǎn)(-,-)

（3）當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.

1.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有xy這樣的二次項(xiàng).

2.幾個常見圓的一般方程

(1)過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0),

(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);

(3)圓心在x軸上的圓的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);

(4)圓心在x軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);

(5)圓心在y軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).

1.圓x2+y2-6x=0的圓心坐標(biāo)是 .

答案:(3,0)

2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)為圓心,以4為半徑的圓,

則F= .

答案:4

3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件?

答案:(1)A=C,且均不為0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.

三、典例解析

例1 判斷方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓.若能表示圓,求出圓心和半徑.

思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù).

解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0

可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,

∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.

因此,當(dāng)m=2時,它表示一個點(diǎn);

當(dāng)m≠2時,原方程表示圓,

此時,圓的圓心為(2m,-m),

半徑為r=|m-2|.

(方法2)原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,

因此,當(dāng)m=2時,它表示一個點(diǎn);

當(dāng)m≠2時,原方程表示圓,

此時,圓的圓心為(2m,-m),半徑為r=|m-2|.

二元二次方程表示圓的判斷方法

任何一個圓的方程都可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法:

(1)計(jì)算D2+E2-4F,若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個點(diǎn);若其值為負(fù),則不表示任何圖形.

(2)將該方程配方為(x+)2+(y+)2=,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷.

跟蹤訓(xùn)練1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:

(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)圓心坐標(biāo)和半徑.

解:(1)據(jù)題意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,

即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,

故m的取值范圍為-∞,

(2)將方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0

寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y-1)2=1-5m,

故圓心坐標(biāo)為(-m,1),半徑r=.

例2 圓C過點(diǎn)A(1,2),B(3,4),且在x軸上截得的弦長為6,求圓C的方程.

思路分析:由條件知,所求圓的圓心、半徑均不明確,故設(shè)出圓的一般方程,用待定系數(shù)法求解.

解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圓C過A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①

3D+4E+F=-25.②

令y=0,得x2+Dx+F=0.設(shè)圓C與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,則

x1+x2=-D,x1x2=F.

∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,

即D2-4F=36.③

由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.

故圓C的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.

圓的方程的求法

求圓的方程時,如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r;如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.

跟蹤訓(xùn)練2圓心在直線y=x上,且過點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是 .

解析:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心是(-,-),

由題意知,解得D=E=-4,F=-2,

即所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.

答案:x2+y2-4x-4y-2=0

例3 已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個端點(diǎn)是B(3,5),求另一個端點(diǎn)C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么圖形.

思路分析:設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)|AB|=|AC|列出方程并化簡.

解:設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).

依題意,得|AC|=|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式,得,

整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.

這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心,以為半徑的圓,如圖所示.

又因?yàn)锳,B,C為三角形的三個頂點(diǎn),

所以A,B,C三點(diǎn)不共線,即點(diǎn)B,C不能重合,

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠3,且點(diǎn)B,C不能為一直徑的兩端點(diǎn),所以

≠4,即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠5.

故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),

即另一個端點(diǎn)C的軌跡是以A(4,2)為圓心,為半徑的圓,但除去(3,5)和(5,-1)兩點(diǎn).

變式：求本例中線段AC中點(diǎn)M的軌跡方程.

解:設(shè)M(x,y),又A(4,2),M為線段AC的中點(diǎn),∴C(2x-4,2y-2).

∵點(diǎn)C在圓(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,

∴(x-4)2+(y-2)2=.

由2x-4≠3,得x≠;由2x-4≠5,得x≠.

∴中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=(x≠,且x≠).

求動點(diǎn)的軌跡方程的常用方法

1.直接法:能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;

2.代入法:找到所求動點(diǎn)與已知動點(diǎn)的關(guān)系,代入已知動點(diǎn)所在的方程.

跟蹤訓(xùn)練3 兩個定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的軌跡方程.

解:以兩定點(diǎn)A,B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-3,0),B(3,0),M(x,y),

則|MA|2+|MB|2=26,

∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,

化簡得M點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=4

跟蹤訓(xùn)練4 已知圓(x+1)2+y2=2上動點(diǎn)A,x軸上定點(diǎn)B(2,0),將BA延長到M,使AM=BA,

求動點(diǎn)M的軌跡方程.

解:設(shè)A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延長線上,

∴A為線段MB的中點(diǎn),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

∵A在圓上運(yùn)動,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程,

得+12+2=2,

化簡得(x+4)2+y2=8,∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x+4)2+y2=8.

跟蹤訓(xùn)練5 已知兩點(diǎn)P(-2,2),Q(0,2)以及一條直線l:y=x,設(shè)長為 的線段AB在直線l移動,求直線PA與QB的交點(diǎn)M的軌跡方程.

解:∵線段AB在直線y=x上移動,且|AB|=,

∴可設(shè)點(diǎn)A(a,a),B(a+1,a+1).

∴直線PA的方程為y-2=(x+2)(a≠-2)①,

直線QB的方程為y-2=x(a≠-1)②,

當(dāng)a=0時,直線PA與QB平行,兩直線無交點(diǎn),

當(dāng)a≠0時,直線PA與QB相交,設(shè)交點(diǎn)為M(x,y).由②式可得

a=,將其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0③,

當(dāng)a=-2或a=-1時,直線PA和QB的交點(diǎn)也滿足③,

∴所求軌跡方程為x2-y2+2x-2y+8=0.

通過對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，引出圓的一般方程，同時類比直線方程的多種形式，幫助學(xué)生認(rèn)識圓的一般方程與二元二次方程的關(guān)系。學(xué)會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略。

通過對圓的一般方程的討論，幫助學(xué)生總結(jié)圓的一般方程的特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中掌握求圓的一般方程的基本方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過與圓相關(guān)的軌跡問題的解決，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的軌跡為( )

A.圓心為(1,2)的圓 B.圓心為(2,1)的圓

C.圓心為(-1,-2)的圓 D.不表示任何圖形

解析:因?yàn)閤2+y2-2x-4y+6=0等價于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程無解,所以該方程不表示任何圖形,故選D. 答案:D

2.若圓x2+y2-2kx-4=0關(guān)于直線2x-y+3=0對稱,則k等于( )

解析:由題意知,直線2x-y+3=0過圓心.∵圓心坐標(biāo)為(k,0),

∴2k+3=0,k=- 答案:B

3.已知一動點(diǎn)M到點(diǎn)A(-4,0)的距離是它到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍,則動點(diǎn)M的軌跡方程是 .

解析:設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則|MA|=2|MB|,

即=2,

整理,得x2+y2-8x=0.故所求動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-8x=0.

答案:x2+y2-8x=0

4.已知點(diǎn)A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求過A,B,C的圓的方程.

解:設(shè)這個圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

把三點(diǎn)坐標(biāo)A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程組

所以這個圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。