等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.

B.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.

1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)的應(yīng)用

4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項(xiàng)的具體應(yīng)用

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、課前小測(cè)

1．思考辨析

(1)若S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．( )

(2)若a₁>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．( )

(3)在等差數(shù)列中，S_n是其前n項(xiàng)和，則有S_2n－1＝(2n－1)a_n.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

2．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12

B [∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項(xiàng)．]

3．等差數(shù)列{a_n}中，S₂＝4，S₄＝9，則S₆＝________.

15 [由S₂，S₄－S₂，S₆－S₄成等差數(shù)列得2(S₄－S₂)＝S₂＋(S₆－S₄)解得S₆＝15.]

4．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n＝2n－48，則S_n取得最小值時(shí)，n為________.

23或24 [由a_n≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負(fù)項(xiàng)的和最小，即n＝23或24.]

二、典例解析

例8.某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)座位. 問第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位？

分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{a_n} ，設(shè)數(shù)列{a_n} 的前項(xiàng)和為。由題意可知，{a_n}是等差數(shù)列，且公差及前20項(xiàng)和已知，所以可利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求首項(xiàng)。

解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n.根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S₂₀＝800.

因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位。

解得a₁＝21.

因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.

1．本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．

2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：

(1)抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．

(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式a_n，或是求前n項(xiàng)和S_n，還是求項(xiàng)數(shù)n.

跟蹤訓(xùn)練1. 某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí)．從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？

分析：因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說(shuō)明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線工程．

解:從第一輛車投入工作算起，各車工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a₁，a₂，…，a₂₅.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a₁＝24，公差d＝－.

25輛翻斗車完成的工作量為：a₁＋a₂＋…＋a₂₅＝2524＋2512＝500，而需要完成的工作量為2420＝480.∵500>480，

∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．

例9.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁＝10，公差d＝－2，S_n是否存在最大值？若存在，求S_n的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析數(shù)項(xiàng)的和。

另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成

，所以當(dāng)時(shí)， 可以看成二次函數(shù)

，當(dāng)= 時(shí)函數(shù)值。如圖，當(dāng)時(shí)， 關(guān)于的圖像是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn)，因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的, 的值。

解法1.由d＝－2，得a_n＋1－a_n＝－2＜0，得a_n＋1＜a_n ，所以{a_n}是遞減數(shù)列.由a₁＝10，d＝－2，

得a_n＝10＋(n－1)(－2) ＝－2n＋12.

可知，當(dāng)n＜6時(shí)，a_n＞0；

當(dāng)n＝6時(shí)，a_n＝0；

當(dāng)n＞6時(shí)，a_n＜0.

所以, S₁＜S₂＜…＜S₅＝S₆＞ S₇＞…

也就是說(shuō)，當(dāng)n＝5或6時(shí)，S_n最大.

因?yàn)?/span> =30

所以S_n的最大值為30.

解法2：因?yàn)橛蒩₁＝10，d＝－2，

因?yàn)?/span>

所以，當(dāng)n取與 最接近的整數(shù)，

即5或6時(shí)，S_n最大，最大值為30.

1.在等差數(shù)列中，求S_n的最小(大)值的方法：

(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)．

(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．

2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法：

(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)來(lái)尋找．

(2)利用到y(tǒng)＝ax²＋bx(a≠0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)．

跟蹤訓(xùn)練2. 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝33n－n²，

(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)問{a_n}的前多少項(xiàng)和最大；

(3)設(shè)b_n＝|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n′.

分析：(1)利用S_n與a_n的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由S_n的結(jié)構(gòu)特征求a₁，d，從而求出通項(xiàng)．

(2)利用S_n的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解

(3)利用a_n判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用S_n的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解．

[解] (1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝34－2n，

又當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝32＝34－21滿足a_n＝34－2n.

故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝34－2n.

法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由S_n＝－n²＋33n知S_n是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以{a_n}是等差數(shù)列，由S_n的結(jié)構(gòu)特征知

解得a₁＝32，d＝－2，所以a_n＝34－2n.

(2)法一：(公式法)令a_n≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，

故數(shù)列{a_n}的前17項(xiàng)大于或等于零．

又a₁₇＝0，故數(shù)列{a_n}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．

法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x²＋33x的對(duì)稱軸為x＝.

距離最近的整數(shù)為16,17.由S_n＝－n²＋33n的

圖象可知：當(dāng)n≤17時(shí)，a_n≥0，當(dāng)n≥18時(shí)，a_n<0，

故數(shù)列{a_n}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．

(3)由(2)知，當(dāng)n≤17時(shí)，a_n≥0；

當(dāng)n≥18時(shí)，a_n<0.

所以當(dāng)n≤17時(shí)，S_n′＝b₁＋b₂＋…＋b_n

＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝S_n＝33n－n².

當(dāng)n≥18時(shí)，

S_n′＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₇|＋|a₁₈|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a₁₇－(a₁₈＋a₁₉＋…＋a_n)

＝S₁₇－(S_n－S₁₇)＝2S₁₇－S_n

＝n²－33n＋544.

故S_n′＝

通過課前檢測(cè)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過等差數(shù)列前項(xiàng)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式函數(shù)特征的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。

通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．（多選題）已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₆>S₇>S₅，有下列四個(gè)命題正確的是( )

A.d<0； B.S₁₁>0； C.S₁₂<0； D.數(shù)列{S_n}中的最大項(xiàng)為S₁₁

【答案】AB

解析∵S₆>S₇，∴a₇<0，∵S₇>S₅，∴a₆＋a₇>0，

∴a₆>0，∴d<0，A正確．又S₁₁＝(a₁＋a₁₁)＝11a₆>0，B正確．

S₁₂＝(a₁＋a₁₂)＝6(a₆＋a₇)>0，C不正確．{S_n}中最大項(xiàng)為S₆，D不正確．

故正確的是AB]

2．已知等差數(shù)列{a_n}中，|a₅|＝|a₉|，公差d>0，則使得前n項(xiàng)和S_n取得最小值的正整數(shù)n的值是________．

【答案】6或7

[由|a₅|＝|a₉|且d>0得a₅<0，a₉>0，且a₅＋a₉＝0?2a₁＋12d＝0?

a₁＋6d＝0，即a₇＝0，故S₆＝S₇且最?。甝

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式為S_n＝n²－30n.

(1)求數(shù)列 {a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

(2)求S_n的最小值及對(duì)應(yīng)的n值.

【答案】 (1)∵S_n＝n²－30n，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝－29.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－30n)－[(n－1)²－30(n－1)]＝2n－31.

∵n＝1也適合，

∴a_n＝2n－31，n∈N^*.

(2)法一：S_n＝n²－30n＝²－225

∴當(dāng)n＝15時(shí)，S_n最小，且最小值為S₁₅＝－225.

法二：∵a_n＝2n－31，∴a₁2<…15<0，當(dāng)n>15時(shí)，a_n>0.

∴當(dāng)n＝15時(shí)，S_n最小，且最小值為S₁₅＝－225.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。