等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．

B.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題．

C.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用

4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式綜合運(yùn)用

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、新知探究

據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：

1＋2＋3＋…＋100=？

你準(zhǔn)備怎么算呢？

高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一. 他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn).

問(wèn)題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？

試從數(shù)列角度給出解釋.

高斯的算法：

（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=

高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列：

1，2，3，…，

前100項(xiàng)的和問(wèn)題

等差數(shù)列中，下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)和相等.

設(shè)a_n＝n，則a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，…

如果數(shù)列{a_n} 是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N^*，

且p＋q＝s＋t，則a_p＋a_q＝a_s＋a_t

可得：

問(wèn)題2： 你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋… ＋101嗎？

問(wèn)題3： 你能計(jì)算1＋2＋3＋… ＋n嗎？

需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)數(shù)時(shí)， n－1為偶數(shù)

對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋… ＋n

問(wèn)題4：不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？

將上述兩式相加，得

所以

問(wèn)題5.上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列的前項(xiàng)和嗎？

倒序求和法

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

功能1：已知a₁，a_n和n，求S_n .

功能2：已知S_n，n，a₁ 和a_n中任意3個(gè)，求第4個(gè).

二、典例解析

例6.已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列.

（1）若a₁=7,=101,求；

（2）若a₁=2,=,求

（3）若=，d=,=5,求；

分析：對(duì)于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a₁和的值求出d ，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得

解：（1）因?yàn)?/span>a₁=7,=101 ，根據(jù)公式，可得=2700.

（2）因?yàn)?/span>a₁=2,=，所以d=.根據(jù)公式，可得

（3）把=，d=,=5代，得

整理，得

解得或（舍）,所以等差數(shù)列中的基本計(jì)算

(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a₁，d，n，a_n和S_n

這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a₁和d的方程組，解出a₁和d，

便可解決問(wèn)題．解題時(shí)注意整體代換的思想．

(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：

若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N^*)，則a_m＋a_n＝a_p＋a_q，常與求和公式S_n＝結(jié)合使用．

跟蹤訓(xùn)練1 已知等差數(shù)列{a_n}．

(1)a₁＝，a₁₅＝－，S_n＝－5，求d和n；

(2)a₁＝4，S₈＝172，求a₈和d.

[解] (1)∵a₁₅＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.

又S_n＝na₁＋d＝－5，

解得n＝15或n＝－4(舍)．

(2)由已知，得S₈＝＝＝172，

解得a₈＝39，

又∵a₈＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

例7.已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？

分析可得到兩個(gè)關(guān)于的二元一次方程，解這兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組，就可以求得

解=310,=1220,

把它們代入公式

得解方程組，得

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差。

一般地，對(duì)于等差數(shù)列，只要給定兩個(gè)相互獨(dú)立的條件，這個(gè)數(shù)列就完全確定。

(法二)∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，

∴S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀也成等差數(shù)列，

∴2(S₂₀－S₁₀)＝S₁₀＋S₃₀－S₂₀，

即2(1 220－310)＝310＋S₃₀－1 220，

∴S₃₀＝2 730.

(法三)設(shè)S_n＝An²＋Bn(A，B為常數(shù))．

由題意，得解得

∴S_n＝3n²＋n.∴S₃₀＝3900＋30＝2 730.

(法四)由S_n＝na₁＋d，得＝a₁＋(n－1)，

∴是以a₁為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

∴，，成等差數(shù)列，

∴＋＝2，

∴S₃₀＝30＝30(122－31)＝2 730.

通過(guò)回顧歷史中高斯小故事，提出等差數(shù)列求和問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，分類與整合、數(shù)學(xué)結(jié)合等思想方法，感受等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。

通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．在等差數(shù)列{a_n}中，若a₃＋a₅＋a₇＋a₉＋a₁₁＝100，則3a₉－a₁₃的值為( )

A．20 B．30 C．40 D．50

【答案】C [∵a₃＋a₁₁＝a₅＋a₉＝2a₇，

∴a₃＋a₅＋a₇＋a₉＋a₁₁＝5a₇＝100，

∴a₇＝20.

∴3a₉－a₁₃＝3(a₇＋2d)－(a₇＋6d)＝2a₇＝40.]

2．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₁＋a₃＋a₅＝3，則S₅＝( )

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】A [由題a₁＋a₃＋a₅＝3，∴3a₃＝3.

∴a₃＝1又∵S₅＝＝＝5.]

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n＝－n²，則( )

A．a_n＝2n＋1 B．a_n＝－2n＋1

C．a_n＝－2n－1 D．a_n＝2n－1

【答案】B [由a_n＝S_n－S_n－1(n≥2)得a_n＝1－2n，

當(dāng)n＝1時(shí)，S₁＝a₁＝－1符合上式．

∴a_n＝－2n＋1.]

4．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a₁₀＝10，則S₁₉＝________.

【答案】190 [S₁₉＝＝＝190.]

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁＝，d＝－，S_n＝－15，求n及a₁₂.

【答案】∵S_n＝n＋－＝－15，

整理得n²－7n－60＝0，

解之得n＝12或n＝－5(舍去)，

a₁₂＝＋(12－1)＝－4.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。