等差數(shù)列的概念（1）教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 理解等差數(shù)列的概念

B.掌握等差數(shù)列的通項公式及應用

C.掌握等差數(shù)列的判定方法

1.數(shù)學抽象：等差數(shù)列的概念

2.邏輯推理：等差數(shù)列通項公式的推導

3.數(shù)學運算：通項公式的應用

4.數(shù)學建模：等差數(shù)列的應用

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、導語

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內容（如單調性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并應用它們解決實際問題和數(shù)學問題，從中感受數(shù)學模型的現(xiàn)實意義與應用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手。

二、新知探究

1.北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形

的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內到

外各圈的示板數(shù)依次為

9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①

2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上對應的尺碼分別是

38,40,42,44,46,48 ②

3.測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位）依次為

25,24,23,22,21 ③

4.某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年，如果個人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應還本金元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為④

在代數(shù)的學習中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學習中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

1．等差數(shù)列的概念

2．等差中項

(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．

(2)結論：那么A叫做a與b的等差中項．

(3)滿足的關系式是a＋b＝2A.

1. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)．

(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．( )

(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．( )

(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．( )

; ; √

問題探究

思考1：你能根據等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

設一個等差數(shù)列的首項為,公差為,根據等差數(shù)列的定義，可得

當n時，上式為+() ，這就是說,上式當時也成立。

因此，首項為,公差為的等差數(shù)列的通項公式為+()

思考2：教材上推導等差數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？

[提示] 還可以用累加法，過程如下：

∵a2－a1＝d，

a3－a2＝d，

a4－a3＝d，…

an－an－1＝d(n≥2)，

將上述(n－1)個式子相加得

an－a1＝(n－1)d(n≥2)，

∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，

當n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，

∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．

從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，

則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；

(2)這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d

2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． ( )

(2)等差數(shù)列{an}的單調性與公差d有關． ( )

(3)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．( )

解析： (1)錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；

若這些常數(shù)不全相等，則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列．

(2)正確．當d>0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；

d<0時為遞減數(shù)列．

(3)正確．若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，

故a，b，c為等差數(shù)列．

[答案] (1) (2)√ (3)√

3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝2，d＝6.5，則a7＝( )

A．22 B．24 C．26 D．28

D [a7＝a3＋4d＝2＋46.5＝28，故選D.]

4．如果三個數(shù)2a，3，a－6成等差數(shù)列，則a的值為( )

A．－1 B．1 C．3 D．4

D [由條件知2a＋(a－6)＝32，解得a＝4.故應選D.]

三、典例解析

例1.（1）已知等差數(shù)列的通項公式為求公差和首項；

（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項。

分析（1）已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據等差數(shù)列的定義，由= ，即可求出公差，（2）可以先根據數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列的第20項

解：（1）當?shù)耐椆綖椋?/p>

可得

于是=()-()=2.

把代入通項公式，可得

（2）由已知條件，得

求通項公式的方法

(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項公式，這是求解這類問題的基本方法．

(2)已知等差數(shù)列中的兩項，可用d＝直接求得公差，

再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項公式．

(3)抓住等差數(shù)列的通項公式的結構特點，通過an是關于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．

跟蹤訓練1．(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與公差d.

(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.

解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.

∵a5＝10，a12＝31，則

解得

∴這個等差數(shù)列的首項a1＝－2，公差d＝3.

(2) 法一：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，

則由題意得解得

故a75＝a1＋74d＝＋74＝24.

法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，

∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15＝24.

法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設an＝kn＋b.

由a15＝8，a60＝20得解得

∴a75＝75＋4＝24.

例2 (1)已知m和2n的等差中項是8，2m和n的等差中項是10，則m和n的等差中項是________．

(2)已知，，是等差數(shù)列，求證：，，也是等差數(shù)列．

[思路探究] (1)―→―→

(2)

(1)6 [由題意得

∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.]

(2)[證明] ∵，，成等差數(shù)列，

∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．

∵＋＝

＝＝＝＝，

∴，，成等差數(shù)列．

等差中項應用策略

1.求兩個數(shù)x，y的等差中項，即根據等差中項的定義得A＝.

2.證三項成等差數(shù)列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列.

跟蹤訓練2．在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)

成等差數(shù)列，求此數(shù)列．

[解] ∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，

∴b是－1與7的等差中項，

∴b＝＝3.

又a是－1與3的等差中項，

∴a＝＝1.

又c是3與7的等差中項，

∴c＝＝5.

∴該數(shù)列為：－1，1，3，5，7.

通過導語，通過對函數(shù)學習的回顧，幫助學生類比，展望數(shù)列學習的路線。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過具體問題的思考和分析，歸納總結，抽象出等差數(shù)列的概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過等差數(shù)列通項公式的推導，。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列及其通項公式的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素

通過典型例題，幫助靈活運用等差數(shù)列的中項性質，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－3n，則此數(shù)列( )

A．是公差為－3的等差數(shù)列 B．是公差為5的等差數(shù)列

C．是首項為5的等差數(shù)列 D．是公差為n的等差數(shù)列

A [等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.]

2．等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝( )

A．8 B．12 C．16 D．24

C [設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，

則由a2＝2，a5＝8，得

解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故選C.]

3．已知a＝，b＝，則a，b的等差中項為______．

[＝＝＝.]

4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10＝____.

解析：(方法一)設an＝a1＋(n－1)d，

則

即解得

∴an＝－2n＋21(n∈N*)．

∴a10＝－210＋21＝1.

(方法二)設公差為d，

∵a8＝a5＋(8－5)d，

∴d＝＝－2，

∴a10＝a8＋(10－8)d＝1.

(方法三)設an＝An＋B，

則即

解得

∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.

5．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關于x的方程

x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式．

[解] 由題意得∴

解得∴an＝2＋(n－1)2＝2n.

故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。