函數(shù)的單調(diào)性(1)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 通過具體函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

B.能根據(jù)函數(shù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，體會算法思想，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)。

1.數(shù)學抽象：導數(shù)正負與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系

2.邏輯推理：運用導數(shù)正負判斷函數(shù)單調(diào)性

3.數(shù)學運算：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解

4.直觀想象：導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、新知探究

在必修第一冊中，我們通過圖像直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性質(zhì)。在本章前兩節(jié)中我們學習了導數(shù)的概念和運算，知道導數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學表達，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，能否利用導數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢？本節(jié)我們就來討論這個問題。

問題1: 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些?

1.定義法：

2.圖像法：

3.性質(zhì)法:增+增→增，減+減→減， 增→減，復合函數(shù)單調(diào)性同增異減

4.導數(shù)法

問題2:圖（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間變化的函數(shù) h(t)=-4.9t²+4.8t+11 圖像. 圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t的變化的函數(shù)v(t)= -9.8t+4.8的圖象，是函數(shù)h(t)的零點。

運動員從起跳到最高點，及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學上刻畫這種區(qū)別？

觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)

（1）從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)是單調(diào)遞增，相應地，相應的v(t)=h(t)>0

（2）從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)是單調(diào)遞減，相應地，v(t)=h(t)<0

問題3:我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與的正負有內(nèi)在聯(lián)系，那么，我們能否由的正負來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢？

對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn)：

當 時，函數(shù)的圖像是“上升”的，

h(t)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當 時，函數(shù)的圖像是“下降”的，

h(t)函數(shù)在上單調(diào)遞減。

這種情況是否具有一般性呢？

問題4:觀察下面一些函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負的關(guān)系。

從函數(shù)導數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負之間的關(guān)系；

導數(shù)f ￠(x₀)表示函數(shù) f(x)在點(x₀, f(x₀))處的切線的斜率

函數(shù)f (x)的單調(diào)性與導函數(shù)f ′(x)正負的關(guān)系

定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f (x)：

增 ；減

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上都有f ′(x)＜0，則函數(shù)f (x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減． ( )

(2)函數(shù)在某一點的導數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”． ( )

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大．( )

(4)判斷函數(shù)單調(diào)性時，在區(qū)間內(nèi)的個別點f ′(x)＝0，不影響函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性．( )

[解析] (1)√ 函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函數(shù)f (x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確．

(2) 切線的“陡峭”程度與|f ′(x)|的大小有關(guān)，故錯誤．

(3)√ 函數(shù)在某個區(qū)間上變化的快慢，和函數(shù)導數(shù)的絕對值大小一致．

(4)√ 若f ′(x)≥0(≤0)，則函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)，故f ′(x)＝0不影響函數(shù)單調(diào)性．

[答案] (1)√ (2) (3)√ (4)√

例1. 利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:

（1）

（2）

(3)

解: (1) 因為, 所以

所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，如圖（1）所示

典(2) 因為, 所以

所，函數(shù)在 上單調(diào)遞減，如圖（2）所示

(3) 因為, ,所以

所以，函數(shù)在 ,上單調(diào)遞增，如圖（3）所示

用解不等式法求單調(diào)區(qū)間的步驟

??1?確定函數(shù)f?x?的定義域；

??求導函數(shù)f′?x?；

?3?解不等式f′?x?＞0?或f′?x?＜0?，并寫出解集；

?4?根據(jù)?3?的結(jié)果確定函數(shù)f?x?的單調(diào)區(qū)間.

跟蹤訓練1．（1）函數(shù)f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )

A．增函數(shù) B．減函數(shù)

C．先增后減 D．不確定

A [∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，

∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．]

（2）求f (x)＝3x²－2ln x函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

[解] (1)f (x)＝3x²－2ln x的定義域為(0，＋∞)，

f ′(x)＝6x－＝＝，

由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.

∴函數(shù)f (x)＝3x²－2ln x的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

例2. 已知導函數(shù)的下列信息，試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.

當1 < x < 4 時, >0;

當 x > 4 , 或 x < 1時, 0;

當 x = 4 , 或 x = 1時, 0.

解: 當1 < x < 4 時, ,0 可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當 x > 4 , 或 x < 1時, 0; 可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當 x = 4 , 或 x = 1時, 0.

綜上, 函數(shù) 圖象的大致形狀如右圖所示.

研究函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點

研究一個函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素.對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增、在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導函數(shù)，則應注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.

跟蹤訓練2．（1）導函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f (x)的圖象可能是( )

D [當x＞0時，f ′(x)＞0，當x＜0時，f ′(x)＜0，所以函數(shù)f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，對照圖象，應選D.]

（2）．已知函數(shù)f (x)的導函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．

(－1，2)和(4，＋∞) [由y＝f ′(x)的圖象及導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得y＝f (x)的大致圖象如圖所示．所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，2)和(4，＋∞)．]

溫故知新，提出問題，，引導學生探究運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過特例，體會研究導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本原理，發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，幫助學生熟練掌握運用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟和方法，發(fā)展學生數(shù)學運算，直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．設函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f ′(x)的圖象可能為( )

C [∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是減函數(shù)，在(1，4)上為增函數(shù)，∴當x＜1或x＞4時，f ′(x)＜0；當1＜x＜4時，f ′(x)＞0.故選C.]

2.已知函數(shù)y＝f (x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是( )

2.法一：由函數(shù)y＝f (x)的導函數(shù)y＝f ′(x)的圖象自左到右先增后減，可知函數(shù)y＝f (x)圖象的切線的斜率自左到右先增大后減?。?/span>

法二：由于f ′(x)＞0恒成立，則根據(jù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，f (x)單調(diào)遞增，即圖象從左至右上升．四個圖象都滿足．

由于當x＞0時，f ′(x)＞0且越來越小，則函數(shù)值增加得越來越慢，圖象呈現(xiàn)上凸狀；當x＜0時，f ′(x)＞0且越來越大，故函數(shù)值增加得越來越快，圖象呈現(xiàn)下凸狀，可以判斷B正確．故選B.]

3．函數(shù)f (x)＝(x－3)e^x的單調(diào)遞增區(qū)間是( )

A．(－∞，2) B．(0，3)

C．(1，4) D．(2，＋∞)

D [∵f ′(x)＝e^x＋(x－3)e^x＝(x－2)e^x，由f ′(x)＞0得(x－2)e^x＞0，∴x＞2.

∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．]

4．函數(shù)f (x)＝e^x－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．

(0，＋∞) [∵f (x)＝e^x－x，∴f ′(x)＝e^x－1.由f ′(x)＞0得，e^x－1＞0，

即x＞0.∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．]

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。