超幾何分布教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 理解超幾何分布,能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布;

B.能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決實際問題,會求服從超幾何分布的隨機變量的均值.

1.數(shù)學抽象：超幾何分布的概念

2.邏輯推理：超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別

3.數(shù)學運算：超幾何分布的有關計算

4.數(shù)學建模：模型化思想

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、探究新知

問題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機抽取4件．設抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.

（1）：采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？

采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(4，0.08).

（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？

不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.

解：從100件產(chǎn)品中任取4件有 種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有種.

由古典概型的知識，得隨機變量X的分布列為

超幾何分布

一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X＝k）＝\s\up1(kM，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N^*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機變量X服從超幾何分布．

1.公式 中個字母的含義

N—總體中的個體總數(shù)

M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))

n—樣本容量

k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))

2.求分布列時可以直接利用組合數(shù)的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.

3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.

4.各對應的概率和必須為1.

1.下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是( ）

A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X

B．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)X

C．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為X

D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)

解析：由超幾何分布的定義可知B正確．

答案：B

二、典例解析

例1：從50名學生中隨機選出5名學生代表,求甲被選中的概率.

解: 設X表示選出的5名學生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為

例2. 一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.

解:設抽取的10個零件中不合格品數(shù)為??,則??服從超幾何分布,且??=30,??=3,??=10,

??的分布列為,

至少有1件不合格的概率為??(??≥1)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)

另解:(??≥1)=1???(??=0)

（1）當研究的事物涉及二維離散型隨機變量(如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；

（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時的概率．

跟蹤訓練1.在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆和4名女志愿者B₁，B₂，B₃，B₄，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．

(1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的概率；

(2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．

解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁，

但不包含B₁”的事件為M，則P(M)＝\s\up1(48＝.

(2)由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則

P(X＝0)＝\s\up1(56＝，P(X＝1)＝\s\up1(46＝，

P(X＝2)＝\s\up1(36＝，P(X＝3)＝\s\up1(26＝，

P(X＝4)＝\s\up1(16＝.

因此X的分布列為

探究1：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?

設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而 是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，

E()=p，即E(X)=np.

超幾何分布的均值

設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝，則E(X）＝__ np_．

例6.一袋中有100個大小相同的小球,其中有40個黃球，60個白球，從中隨機摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).

(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;

(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，

求誤差不超過0.1的概率.

解:(1)對于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為

對于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為

（2）

樣本中黃球的比例 是一個隨機變量

有放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7469；

不放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7988.

因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結果更可靠些。

兩種摸球方式下,隨機變量X服從二項分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.

但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.

當n遠遠小于N時，每次抽取一次,對N的影響很小.此時，超幾何分布可以用二項分布近似.

二項分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.

2.聯(lián)系：當次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時,即便是不放回抽樣,也可視其為二項分布.

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過問題分析，讓學生掌握超幾何分布的概念及其特點。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對超幾何分布的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.一袋中裝5個球，編號為1，2，3，4，5，從袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為( ）

解析：隨機變量ξ的可能值為1，2，3，P(ξ＝1)＝\s\up1(24＝，

P(ξ＝2)＝\s\up1(23＝，P(ξ＝3)＝\s\up1(22＝.故選C.

答案：C

2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學期望為________．

解析：次品數(shù)服從超幾何分布，則E(X)＝3＝0.3.

答案：0.3

3. 在高二年級的聯(lián)歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有5個紅球和10個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個球，至少摸到2個紅球就中獎，求中獎的概率．

解析：由題意知，摸到紅球個數(shù)X為離散型隨機變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個紅球的概率為

P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)

＝\s\up1(25＋\s\up1(35＝.

故中獎的概率為.

4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：

(1）不放回抽樣時，抽取次品數(shù)ξ的均值；

(2）放回抽樣時，抽取次品數(shù)η的均值．

解析：(1)方法一 P(ξ＝0)＝\s\up1(38＝；

P(ξ＝1)＝\s\up1(12＝；P(ξ＝2)＝\s\up1(22＝，

∴隨機變量ξ的分布列為

E(ξ)＝0＋1＋2＝.

方法二 由題意知P(ξ＝k)＝\s\up1(k2(k＝0，1，2)，

∴隨機變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，

∴E(ξ)＝＝＝.

(2)由題意，知每次取到次品的概率為＝，

∴η～B，

∴E(η)＝3＝.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。