超幾何分布教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;

B.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.

1.數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念

2.邏輯推理：超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：超幾何分布的有關(guān)計(jì)算

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、探究新知

問(wèn)題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.

（1）：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？

采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08).

（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？

不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.

解：從100件產(chǎn)品中任取4件有 種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有種.

由古典概型的知識(shí)，得隨機(jī)變量X的分布列為

超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X＝k）＝\s\up1(kM，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N^*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

1.公式 中個(gè)字母的含義

N—總體中的個(gè)體總數(shù)

M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))

n—樣本容量

k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))

2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.

3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.

4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.

1.下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是( ）

A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X

B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)X

C．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X

D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)

解析：由超幾何分布的定義可知B正確．

答案：B

二、典例解析

例1：從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.

解: 設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為

例2. 一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.

解:設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為??,則??服從超幾何分布,且??=30,??=3,??=10,

??的分布列為,

至少有1件不合格的概率為??(??≥1)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)

另解:(??≥1)=1???(??=0)

（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機(jī)變量(如：次品、兩類顏色等問(wèn)題）時(shí)的概率分布可視為一個(gè)超幾何分布；

（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時(shí)的概率．

跟蹤訓(xùn)練1.在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆和4名女志愿者B₁，B₂，B₃，B₄，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．

(1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的概率；

(2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．

解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A₁，

但不包含B₁”的事件為M，則P(M)＝\s\up1(48＝.

(2)由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則

P(X＝0)＝\s\up1(56＝，P(X＝1)＝\s\up1(46＝，

P(X＝2)＝\s\up1(36＝，P(X＝3)＝\s\up1(26＝，

P(X＝4)＝\s\up1(16＝.

因此X的分布列為

探究1：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?

設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而 是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，

E()=p，即E(X)=np.

超幾何分布的均值

設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝，則E(X）＝__ np_．

例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;

(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，

求誤差不超過(guò)0.1的概率.

解:(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為

對(duì)于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為

（2）

樣本中黃球的比例 是一個(gè)隨機(jī)變量

有放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7469；

不放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7988.

因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些。

兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.

但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.

當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.

二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.

2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.

通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，在具體的問(wèn)題情境中，深化對(duì)超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.一袋中裝5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為( ）

解析：隨機(jī)變量ξ的可能值為1，2，3，P(ξ＝1)＝\s\up1(24＝，

P(ξ＝2)＝\s\up1(23＝，P(ξ＝3)＝\s\up1(22＝.故選C.

答案：C

2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．

解析：次品數(shù)服從超幾何分布，則E(X)＝3＝0.3.

答案：0.3

3. 在高二年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)紅球和10個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率．

解析：由題意知，摸到紅球個(gè)數(shù)X為離散型隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個(gè)紅球的概率為

P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)

＝\s\up1(25＋\s\up1(35＝.

故中獎(jiǎng)的概率為.

4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：

(1）不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)ξ的均值；

(2）放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)η的均值．

解析：(1)方法一 P(ξ＝0)＝\s\up1(38＝；

P(ξ＝1)＝\s\up1(12＝；P(ξ＝2)＝\s\up1(22＝，

∴隨機(jī)變量ξ的分布列為

E(ξ)＝0＋1＋2＝.

方法二 由題意知P(ξ＝k)＝\s\up1(k2(k＝0，1，2)，

∴隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，

∴E(ξ)＝＝＝.

(2)由題意，知每次取到次品的概率為＝，

∴η～B，

∴E(η)＝3＝.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。