組合與組合數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解并掌握組合、組合數(shù)的概念,掌握組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別.

B.熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的兩個性質(zhì),并運(yùn)用于計(jì)算之中.

C.能夠運(yùn)用排列組合公式及計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的應(yīng)用問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與分析問題、解決問題的能力.

1.數(shù)學(xué)抽象：組合的概念

2.邏輯推理：組合數(shù)公式的推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：組合數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)

4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用組合解決計(jì)數(shù)問題

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題探究

問題1. 從甲乙丙三名同學(xué)中選兩名去參加一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？

分析：在6.2.1 節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項(xiàng)活動，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：

甲乙、甲丙、乙丙.

從三個不同元素中取出兩個元素作為一組一共有多少個不同的組？

一、組合的相關(guān)概念

1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.

名師點(diǎn)析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系

(1)共同點(diǎn):兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.

(2)不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).

1.校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問題是排列問題，還是組合問題？

（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？

（2）從中選2輛給3位同學(xué)有多少種不同的方法？

（1）與順序無關(guān)，是組合問題；

（2）選出2輛給3位同學(xué)是有順序的，是排列問題。

例5.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點(diǎn).

（1）以其中2個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

（2）以其中2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點(diǎn)，還要考慮他們的順序是排列問題；

（2）確定一條線段，只需確定兩個端點(diǎn)，而不需要考慮它們的順序是組合問題.

解：（1）一條有向線段的兩個端點(diǎn)，要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個點(diǎn)中的2個為端點(diǎn)的有向線段條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為=43=12.

（2）由于不考慮兩個端點(diǎn)的順序，因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是中平面內(nèi)4個點(diǎn)中的2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，

共有如下6條：

AB,AC,AD,BC,BD,CD.

問題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同” 為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？

進(jìn)一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？

二、組合數(shù)與組合數(shù)公式

1.組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),

叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),

用符號表示.

上述公式稱為組合數(shù)公式.

2.組合數(shù)公式:,這里n,m∈N^*,并且m≤n.

另外,我們規(guī)定=1.

二、典例解析

觀察例6的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？

1.公式(m,n∈N^*,且m≤n),一般用于求值計(jì)算.

2.公式(m,n∈N^*,且m≤n),一般用于化簡證明.在具體選擇公式時,要根據(jù)題目特點(diǎn)正確選擇.

3.根據(jù)題目特點(diǎn)合理選用組合數(shù)的兩個性質(zhì),能起到簡化運(yùn)算的作用,需熟練掌握.

跟蹤訓(xùn)練1. (1)計(jì)算:①3-2;②.

(2)求證:+2.

分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計(jì)算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式證明.

例7. 在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.

（1）有多少種不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

分析:（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)；

（2）分兩步，第一步從2件次品中抽出1件次品，第二步從98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；

（3）可從反面考慮，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法數(shù)后，由第（1）題的結(jié)論減去這個結(jié)果即可得．

解：（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，∴共有(種)；

（2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，

從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，

因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(種).

（3）抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，

也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，

即(種).

組合問題的基本解法

(1)判斷是否為組合問題;

(2)是否分類或分步;

(3)根據(jù)組合的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練2.在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?

(1)任意選5人;

(2)甲、乙、丙三人必須參加;

(3)甲、乙、丙三人不能參加;

(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;

(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.

分析:本題屬于組合問題中的最基本的問題,可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運(yùn)用間接法求解會簡化思維過程.

解:(1)=792(種)不同的選法.

(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有=36(種)不同的選法.

(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有=126(種)不同的選法.

(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙

中選1人,有=3(種)選法,再從另外的9人中選4人有種選法.共有=378(種)不同的選法.

(5)(方法一 直接法)可分為三類:

第1類,甲、乙、丙中有1人參加,有種選法;

第2類,甲、乙、丙中有2人參加,有種選法;

第3類,甲、乙、丙3人均參加,有種選法.

所以,共有=666(種)不同的選法.

(方法二 間接法)12人中任意選5人共有種,甲、乙、丙三人不能參加的有種,

所以,共有=666(種)不同的選法.

變式：若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法?

解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:

第1類,甲、乙、丙都不參加,有種選法;

第2類,甲、乙、丙中有1人參加,有種選法;

第3類,甲、乙、丙中有2人參加,有種選法.

共有=756(種)不同的選法.

(方法二 間接法)12人中任意選5人共有種,甲、乙、丙三人全參加的有種選法,所以共有=756(種)不同的選法.

通過具體問題，分析、比較、歸納出組合的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉組合和組合數(shù)的概念，進(jìn)而靈活運(yùn)用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.從10個不同的數(shù)中任取2個數(shù),求其和、差、積、商這四個問題中,屬于組合的有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

解析:因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個數(shù)的位置對計(jì)算結(jié)果有影響,所以屬于組合的有2個.

答案:B

2.若=3,則n的值為( )

A.4 B.5 C.6 D.7

解析:因?yàn)?/span>=3,所以n(n-1)=,解得n=6.故選C.

答案:C

3.若集合A={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅},則集合A的子集中含有4個元素的子集共有 個.

解析:滿足要求的子集中含有4個元素,由集合中元素的無序性,知其子集個數(shù)為=5.

答案:5

4.平面內(nèi)有12個點(diǎn),其中有4個點(diǎn)共線,此外再無任何3點(diǎn)共線,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可得多少個不同的三角形?

解:(方法一)我們把從共線的4個點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn):

第1類,共線的4個點(diǎn)中有2個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有=48(個)不同的三角形;

第2類,共線的4個點(diǎn)中有1個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有=112(個)不同的三角形;

第3類,共線的4個點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有=56(個)不同的三角形.

由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的三角形共有

48+112+56=216(個).

(方法二 間接法)=220-4=216(個).

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。