二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計(jì)數(shù)原理加以證明；

B.會應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式；

C.通過經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.

1.數(shù)學(xué)抽象：二項(xiàng)式定理

2.邏輯推理：運(yùn)用組合推導(dǎo)二項(xiàng)式定理

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決問題

4.數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運(yùn)用二項(xiàng)式定理

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題探究

上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的展開式的問題。

問題1：我們知道

=a²+2ab+b²,

（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出的展開式嗎？

（3）進(jìn)一步地，你能寫出的展開式嗎？

我們先來分析的展開過程，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，

可以看到，是2個相乘，只要從一個中選一項(xiàng)（選或），再從另一個中選一項(xiàng)（選或），就得到展開式的一項(xiàng)，于是，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有=項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是（=0,1,2）的形式.

由上述

問題2：仿照上述過程，你能利用計(jì)數(shù)原理，寫出，的展開式嗎？

類似

1．二項(xiàng)式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．

(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)ⁿ的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．

(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．

Caⁿ＋Ca^n－1b＋Ca^n－2b²＋…＋Ca^n－kb^k＋…＋Cbⁿ

n＋1 ；C

2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

(a＋b)ⁿ展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作T_k＋1＝______.

k＋1 ；Ca^n－kb^k

二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)

(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).

(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是(k=0,1,2,…,n),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等.

(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2ⁿ,即+…+=2ⁿ.

(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.

1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)

(1)(a＋b)ⁿ展開式中共有n項(xiàng)． ( )

(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響． ( )

(3)Ca^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展開式中的第k項(xiàng)． ( )

(4)(a－b)ⁿ與(a＋b)ⁿ的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同． ( )

[解析] (1) 因?yàn)?/span>(a＋b)ⁿ展開式中共有n＋1項(xiàng)．

(2) 因?yàn)槎?xiàng)式的第k＋1項(xiàng)Ca^n－kb^k和(b＋a)ⁿ的展開式的

第k＋1項(xiàng)Cb^n－ka^k是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的．

(3) 因?yàn)?/span>Ca^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展開式中的第k＋1項(xiàng)．

(4)√ 因?yàn)?/span>(a－b)ⁿ與(a＋b)ⁿ的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是C.

[答案] (1) (2) (3) (4)√

二、典例解析

例1.求的展開式.

解：根據(jù)二項(xiàng)式定理

1.(a+b)ⁿ的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.

2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.

因此,展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.

（2） 的展開式的通項(xiàng)是

根據(jù)題意，得，

因此，

二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略

(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個概念.

(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號,而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.例如,在(1+2x)⁷的展開式中,第4項(xiàng)是T₄=1^7-3(2x)³,其二項(xiàng)式系數(shù)是=35,而第4項(xiàng)的系數(shù)是2³=280.

跟蹤訓(xùn)練2. (1)求二項(xiàng)式2⁶的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù);

(2)求x-⁹的展開式中x³的系數(shù).

解:(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為

∴T₆=-12

∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為=6,

第6項(xiàng)的系數(shù)為(-1)⁵2=-12.

(2)設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x³的項(xiàng),則

T_k+1=x^9-k-^k=(-1)^kx^9-2k,

令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項(xiàng)含x³,其系數(shù)為(-1)³=-84.

學(xué)生帶著問題去觀察展開式，引發(fā)思考積極參與互動，說出自己見解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

這個過程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計(jì)算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡潔美”，這也是一個內(nèi)化的過程，鞏固已有思想方法，建立猜想二項(xiàng)式定理的認(rèn)知基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，讓學(xué)生體會利用二項(xiàng)式定理模型進(jìn)行計(jì)算，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.(a+b)²ⁿ的展開式的項(xiàng)數(shù)是( )

A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)

解析:易知二項(xiàng)式(a+b)²ⁿ的展開式中有2n+1項(xiàng),故展開式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.

答案:B

2.(2a+b)⁵的展開式的第3項(xiàng)是( )

解析:T₂₊₁=(2a)³b²=2³a³b².

答案:B

3.二項(xiàng)式的展開式中有理項(xiàng)共有 項(xiàng).

解析:根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)

T_k+1=.

當(dāng)取有理項(xiàng)時,為整數(shù),

此時k=0,2,4,6.故共有4項(xiàng).

答案:4

4.如果()ⁿ的展開式中,含x²的項(xiàng)為第三項(xiàng),則自然數(shù)n= .

解析:T_k+1=)^n-k()^k=,由題意知當(dāng)k=2時,=2,解得n=8. 答案:8

5.已知m,n∈N^*,f(x)=(1+x)^m+(1+x)ⁿ的展開式中x的系數(shù)為19,求x²的系數(shù)的最小值及此時展開式中x⁷的系數(shù).

解:由題設(shè)知m+n=19,又m,n∈N^*,∴1≤m≤18.

x²的系數(shù)為(m²-m)+(n²-n)=m²-19m+171.

∴當(dāng)m=9或10時,x²的系數(shù)的最小值為81,

此時x⁷的系數(shù)為=156.

6.已知在的展開式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求n;

(2)求含x²的項(xiàng)的系數(shù);

(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).

分析:先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時n的值,再求解第(2)問、第(3)問.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。