全概率公式教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.結(jié)合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)出全概率公式的過程;

B.理解全概率公式的形式并會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率;

C.了解貝葉斯公式以及公式的簡單應(yīng)用.

1.數(shù)學(xué)抽象：全概率公式

2.邏輯推理：從特殊到一般的思想方法

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用全概率公式求事件概率

4.數(shù)學(xué)建模：將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)概率模型

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

在上節(jié)計(jì)算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時(shí)，我們首先把一個(gè)復(fù)雜事件表示為一些簡單事件運(yùn)算的結(jié)果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我們再看一個(gè)求復(fù)雜事件概率的問題.

二、新知探究

問題1.從有個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中,每次隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？

用 R_i表示事件“第i次摸到紅球”,B_i表示事件“第i次摸到藍(lán)球”,i=1,2.事件R₂可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍(lán)球)表示為兩個(gè)互斥事件的并,即R₂=R₁R₂UB₁R₂.利用概率的加法公式和乘法公式,得

按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率。

一般地,設(shè)A₁,A₂,…,A_n是一組兩兩互斥的事件，A₁∪A₂∪…∪A_n＝Ω，

且P(A_i)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有

我們稱上面的公式為全概率公式．

P(B)=ni＝1P(A_i)P(B|A_i)

三、典例解析

例1. 某學(xué)校有A,B兩家餐廳,王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.

分析：第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響,可根據(jù)第1天可能去的餐廳,將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個(gè)互斥事件的并,利用全概率公式求解。

解：設(shè)A₁=“第1天去A餐廳用餐”, B₁=“第1天去B餐廳用餐”,

A₂=“第2天去A餐廳用餐”,則Ω=,根據(jù)題意得

P(A₁)=P(B₁)=0.5, P(A₂|A₁)=0.6, P(A₂|B₁)=0.8,

由全概率公式,得

P(A₂)= P(A₁) P(A₂|A₁)+ P(B₁) P(A₂|B₁)=0.50.6+0.50.8=0.7

因此,王同學(xué)第2天去A餐廳用餐得概率為0.7.

對全概率公式的理解

某一事件A的發(fā)生可能有各種的原因，如果A是由原因B_i (i＝1,2，…，n) 所引起，則A發(fā)生的概率是P(AB_i)＝P(B_i)P(A |B_i)，每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)．

例2:有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個(gè)零件,計(jì)算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品,計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率.

分析:取到的零件可能來自第1臺車床,也可能來自第2臺或第3臺車床,有3種可能.設(shè)B=“任取一零件為次品”,A_i=“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),如圖所示,可將事件B表示為3個(gè)兩兩互斥事件的并,利用全概率公式可以計(jì)算出事件B的概率.

解：B=“任取一個(gè)零件為次品”,

A_i=“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),

則,且互斥,根據(jù)題意得

P(A₁)=0.25, P(A₂)=0.3, P(A₃)=0.45,P(B|A₁)=0.06, P(B|A₂)= P(B|A₃)=0.05.

(1)由全概率公式,得

P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+ P(A₃)P(B|A₃)

=0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525

(2)“如果取到得零件是次品,計(jì)算它是第i(i =1,2,3)臺車床加工的概率”,

就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.

同理可得；

問題2：例5中P(A_i), P(A_i|B)得實(shí)際意義是什么？

??(??_??)是試驗(yàn)之前就已知的概率,它是第??臺車床加工的零件所占的比例,稱為先驗(yàn)概率。當(dāng)已知抽到的零件是次品(??發(fā)生),??(??_??|??)是這件次品來自第??臺車床加工的可能性大小,通常稱為后驗(yàn)概率。

如果對加工的次品,要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任,

那么就分別是第??,??,??臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額。

*貝葉斯公式：

例6:在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時(shí),接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時(shí),接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.

(1)分別求接收的信號為0和1的概率；

[解] 設(shè)A＝“遲到”，B₁＝“乘火車”，B₂＝“乘輪船”，

B₃＝“乘汽車”，B₄＝“乘飛機(jī)”，

根據(jù)題意，有P(B₁)＝0.2，P(B₂)＝0.1，P(B₃)＝0.3，P(B₄)＝0.4，

P(A|B₁)＝，P(A|B₂)＝，P(A|B₃)＝，P(A|B₄)＝0，

開門見山，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說出自己見解。從而建立全概率的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得全概率概念的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過概念辨析，讓學(xué)生深化對全概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過概念辨析，讓學(xué)生深化對全概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對的概率為100%，而不知道正確答案時(shí)猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為 ( )

A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0

=P(A|B)P(B)+P(A|)P()

=10.5+0.250.5=0.625.

2.某小組有20名射手，其中1，2，3，4級射手分別為2，6，9，3名.又若選1，2，3，4級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85，0.64，0.45，0.32，今隨機(jī)選一人參加比賽，則該小組比賽中射中目標(biāo)的概率為________.

【解析】設(shè)B表示“該小組比賽中射中目標(biāo)”，

A_i(i=1，2，3，4)表示“選i級射手參加比賽”，

則P(B)= P(A_i)P(B|A_i)=0.85+ 0.64+0.45+0.32=0.527 5.

答案：0.527 5

3.兩批相同的產(chǎn)品各有12件和10件，每批產(chǎn)品中各有1件廢品，現(xiàn)在先從第1批產(chǎn)品中任取1件放入第2批中，然后從第2批中任取1件，則取到廢品的概率為________.

【解析】設(shè)A表示“取到廢品”，B表示“從第1批中取到廢品”，有P(B)= ，

P(A|B)= ，P(A| )=

所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )

4．有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30%, 二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？

[解] 設(shè)事件 B 為“任取一件為次品”，事件 ，A_i為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1,2,3.

A₁∪A₂∪A₃＝Ω，A_iA_j＝?，i，j＝1,2,3.

由全概率公式得

P(B)＝P(A₁)P(B|A₁)＋P(A₂)P(B|A₂)＋P(A₃)P(B|A₃)．

P(A₁)＝0.3，P(A₂)＝0.5，P(A₃)＝0.2，

P(B|A₁)＝0.02，P(B|A₂)＝0.01，P(B|A₃)＝0.01，

故P(B)＝P(A₁)P(B|A₁)＋P(A₂)P(B|A₂)＋P(A₃)P(B|A₃)

＝0.020.3＋0.010.5＋0.010.2＝0.013.

5.某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標(biāo)志.

(1)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求此次品出自三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？

(2)該元件來自制造廠1的概率為：

P(B₁|A)

該元件來自制造廠2的概率為：

P(B₂|A)=

該元件來自制造廠3的概率為：

P(B₃|A)=

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。