誘導公式教學設計（1）

課程目標

學科素養(yǎng)

A.借助單位圓，推導出正弦、余弦和正切的誘導公式；

B.能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題；

C.了解未知到已知、復雜到簡單的轉化過程，培養(yǎng)學生的化歸思想。

1.數(shù)學抽象：利用單位圓找不同角的關系；

2.邏輯推理：誘導公式的推導；

3.數(shù)學運算：有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題。

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、復習回顧，溫故知新

1. 任意角三角函數(shù)的定義

【答案】設角它的終邊與單位圓交于點。

那么（1）

（2）

2.誘導公式一

，其中，。

終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等

二、探索新知

思考1：

（1）.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關系?

【答案】相等

（2）.角 -α與α的終邊 有何位置關系?

【答案】終邊關于x軸對稱

（3）.角與α的終邊 有何位置關系?

【答案】終邊關于y軸對稱

（4）.角與α的終邊 有何位置關系?

【答案】終邊關于原點對稱

思考2： 已知任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x, y),請同學們思考回答點P關于原點、x軸、y軸對稱的三個點的坐標是什么?

【答案】點P(x, y)關于原點對稱點P1(-x, -y)

點P(x, y)關于x軸對稱點P2(x, -y)

點P(x, y)關于y軸對稱點P3(-x, y)

探究一 如圖， 角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系？

角π + a與角a的終邊關于原點O對稱，

，

（公式二）

sin(π + a) = -sin a，

cos(π + a) = -cos a，

tan(π + a) = tan a。

探究二 角與的三角函數(shù)值之間有什么關系

角-a與角a的終邊關于x軸對稱，有。。

（公式三） sin(-a) = -sin a，

cos(-a) = cos a，

tan(-a) = -tan a。

探究三 根據(jù)上兩組公式的推導，你能否推導出角與角的三角函數(shù)值之間的關系？

角與角的終邊關于軸對稱，故有

所以，（公式二）

sin(π - a) = sin a，

cos(π - a) = -cos a，

tan(π - a) = -tan a。

思考3：這四個誘導公式有什么規(guī)律？

的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．

總結為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限。

例1.求下列三角函數(shù)值

(1)cos225;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2 040).

活動:這是直接運用公式的題目類型,讓學生熟悉公式,通過練習加深印象,逐步達到熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍,對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.

解：(1)cos225=cos(180+45)=-cos45=;

(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;

(3)sin()=-sin=-sin(5π+)

=-(-sin)=;

(4)tan(-2 040)=-tan2 040=-tan(6360-120)

=tan120=tan(180-60)

=-tan60=.

思考4：通過例題，你對誘導公式一、二、三、四有什么進一步的認識？你能歸納任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？

利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行:

上述步驟體現(xiàn)了由未知轉化為已知的轉化與化歸的思想方法.

例2.化簡：

解析見教材

探究四 作P（x,y)關于直線的對稱點P1,以OP1為終邊的角與角有什么關系？角與角的三角函數(shù)值之間有什么關系？

探究五：作點P（x,y)關于y軸的對稱點P5，又能得到什么結論？

公式六

思考5：你能概括一下公式五、六的共同特點和規(guī)律嗎？

【答案】 的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的

余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.

思考6：誘導公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關系，你有什么辦法記住這些公式？

【答案】口訣：奇變偶不變，符號看象限

口訣的意義：

例3. 證明：。

解析見教材

例4 化簡

解析見教材

例5 已知，且 ，求的值。

解析見教材

通過復習上節(jié)所學任意角三角函數(shù)的定義與誘導公式一，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。

通過思考讓學生了解角終邊之間的關系，為推導誘導公式作鋪墊，提高學生的解決問題、分析問題的能力。

通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式二，提高學生分析問題、概括能力。

通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式三，提高學生分析問題、概括能力。

通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式三，提高學生分析問題、概括能力。

通過思考，尋找這四個誘導公式的共同規(guī)律，提高學生分析問題、概括能力。

通過例題練習誘導公式，進一步理解誘導公式的作用，提高學生解決問題的能力。

通過思考總結用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步驟，提高學生解決問題的能力。

通過探究，由圖形觀察角和角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式五、六，提高學生分析問題、概括能力。

通過思考，尋找誘導公式的共同規(guī)律，提高學生分析問題、概括能力。

通過例題的講解，讓學生進一步理解用誘導公式化簡三角函數(shù)關系式、求任意角的三角函數(shù)值，提高學生解決與分析問題的能力。

三、達標檢測

1．下列各式不正確的是( )

A．sin(α＋180)＝－sin α

B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)

C．sin(－α－360)＝－sin α

D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)

【解析】 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B項錯誤．

【答案】 B

2．sin 600的值為( )

A． B．－

C． D．－

【解析】 sin 600＝sin(720－120)＝－sin 120

＝－sin(180－60)＝－sin 60＝－.故選D．

【答案】 D

3．cos 1 030＝( )

A．cos 50 B．－cos 50

C．sin 50 D．－sin 50

【解析】 cos 1 030＝cos(3360－50)

＝cos(－50)＝cos 50.

【答案】 A

4．若sin<0，且cos>0，則θ是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三角限角 D．第四象限角

【解析】 由于sin＝cos θ<0，

cos＝sin θ>0，所以角θ的終邊落在第二象限，故選B．

【答案】 B

5．已知sin φ＝，求cos＋sin(3π－φ)的值.

【解】 ∵sin φ＝，

∴cos＝cos

＝cos

＝cos＝sin φ＝，

∴cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)

＝＋sin φ＝.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。