角和與差的正弦、余弦和正切公式教學設計（1）

課程目標

學科素養(yǎng)

1.了解兩角差的余弦公式的推導過程．

2．掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式．

3．熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法．

4.通過正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法。

a.數(shù)學抽象：公式的推導；

b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；

c.數(shù)學運算：運用和差角角公式求值；

d.直觀想象：兩角差的余弦公式的推導；

e.數(shù)學建模：公式的靈活運用；

教學過程

設計意圖

核心教學素養(yǎng)目標

（一）創(chuàng)設問題情境

提出問題

１.兩角差的余弦公式

如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦嗎？

下面，我們來探究cos(α－β)與角α，β的正弦、 余弦之間的關(guān)系

不妨令kπ＋β，k∈Z． 如圖5.5.1，設單位圓與軸的正半軸相交于點A（１，０），以軸非負半軸為始邊作角α，β，α—β，它們的終邊分別與單位圓相交于點（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一個圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對稱性．連接，AP．若把扇形OAP,繞著點O旋轉(zhuǎn)β角，則點A，P分別與點 重合．根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，

與重合，從而， 所以AP＝

根據(jù)兩點間的距離公式，得

化簡得:

=+

當kπ＋β （k∈Z）時，容易證明上式仍然成立．

所以，對于任意角α，β有

=+ （Ｃ（α－β））

此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α－β的余弦之間的關(guān)系，

稱為差角的余弦公式，簡記作Ｃ(α－β).

典例解析

例１ 利用公式證明：

（１）= ; （２）= ．

證明: (1)= +

=0＋1=．

(2)== +

=(-1)．＝－ ．

例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．

解：由，∈(,),得

又由，是第三象限角，得．

所以=+

=() ()+() ()=

由公式 出發(fā) ， 你能推導出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？

下面以公式 為基礎(chǔ)來推導其他公式 ．

例如 ， 比較 與 ，并注意到 α ＋ β 與

之間的聯(lián)系 ：＝則由公式 ，

有=＝+=

于是得到了兩角和的余弦公式 ， 簡記作 C（α ＋ β ） ．

=．

問題探究

上面得到了兩角和與差的余弦公式 ． 我們知道 ， 用誘導公式五 （ 或六 ） 可以實現(xiàn)正弦 、 余弦的互化 ． 你能根據(jù) Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及誘導公式五 （ 或六 ）， 推導出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式嗎 ？

通過推導 ， 可以得到 ：

＝ ，（ S（α ＋ β ） ）

＝ ; （ S（α － β ） ）

你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù) 、 余弦函數(shù)的關(guān)系 ， 從 Ｃ(α β ) ， Ｓ( α β ) 出發(fā) ， 推導出用任意角 α ， β 的正切表示 ， 的公式嗎 ？

通過推導 ， 可以得到 ：

T(α + β )

T(α β )

和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 為某些特殊角 ， 就能得到許多有用的公式 ． 你能從和 （ 差 ） 角公式出發(fā)推導出誘導公式嗎 ？ 你還能得到哪些等式

公式 Ｓ(α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 給出了任意角 α ， β 的三角函數(shù)值與其和角 α ＋ β 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ． 為方便起見 ， 我們把這三個公式都叫做 和角公式 ．

類似地 ， Ｓ(α－ β ) ， Ｃ(α－ β ) ， Ｔ(α－ β )都叫做 差角公式 ．

典例解析

例3. 已知，，求的值 ．

解 ： 由

得

所以

于是有

由以上解答可以看到 ， 在本題條件下有 ． 那么對于任意角α ， 此等式成立嗎 ？ 若成立 ， 你會用幾種方法予以證明?

例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式計算下列各式的值 ：

（ １ ）sin72cos42－ cos72sin42 ;

（ ２ ） cos20cos70－ sin20sin70 ;

（ 3 ） ;

分析 ： 和 、 差角公式把 α β 的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了 α ， β 的三角函數(shù)式 ． 如果反過來 ， 從右到左使用公式 ， 就可以將上述三角函數(shù)式化簡 ．

解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得

sin72cos42－ cos72sin42=Sin(72－ 42)=sin30=

（2） 由公式 C（α +β ） ， 得

cos20cos70－ sin20sin70= cos(20+70)=cos90=0

（3） 由公式 T（α +β ）及， 得

=== =

通過開門見山，提出問題，利用坐標法，推導兩角差的余弦公式，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過對兩角差的余弦公式的運用，發(fā)展學生，直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

通過其它和差角公式的推導和應用，發(fā)展學生，直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

通過對典型問題的分析解決，發(fā)展學生數(shù)學建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

三、當堂達標

1． cos 65cos 35＋sin 65sin 35等于( )

A．cos 100 B．sin 100 C． D．

【解析】 原式＝cos(65－35)＝cos 30＝.

【答案】 C

2.已知α是銳角，sin α＝，則cos等于( )

A．－ B． C．－ D．

【解析】 因為α是銳角，sin α＝，

所以cos α＝，所以cos＝－＝.故選B．

【答案】 B

3．已知銳角α，β滿足cos α＝，cos(α＋β)＝－，則cos β等于( )

A． B．－ C． D．－

【解析】 因為α，β為銳角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝.

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝.故選A．

【答案】 A

4．計算＝________.

【解析】 ＝＝tan 45＝1.

【答案】 1

5．已知α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，求α－β.

【解】 ∵α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，

∴sin β＝，cos α＝.

∵sin α

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－，

∴α－β＝－.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，鞏固對和差和差距角公式的運用，增強學生的直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。