正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學設(shè)計（2）

本節(jié)課是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的繼續(xù)，本課是正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線的特點得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

課程目標

1.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義;

2.了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性;

3.會利用周期性定義和誘導公式求簡單三角函數(shù)的周期;

4.借助圖象直觀理解正、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象與x軸的交點等);

5.能利用性質(zhì)解決一些簡單問題.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：理解周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義；

2.邏輯推理：求正弦、余弦形函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

3.數(shù)學運算：利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇偶性.

4.數(shù)學建模：讓學生借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì).

重點：通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；

難點：應用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)來求含有cosx,sinx的函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域及對稱性.

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

研究一個函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個方面考慮？我們知道從定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、稱性等考慮，那么正余弦函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本201-205頁，思考并完成以下問題

1. 周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義？

2. 怎樣判斷三角函數(shù)的周期性和奇偶性？

3. 通過正弦曲線和余弦曲線得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.定義域

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集(或).

2.值域

(1)值域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是.

(2)最值

正弦函數(shù)

①當且僅當時,取得最大值

②當且僅當時,取得最小值

余弦函數(shù)

①當且僅當時,取得最大值

②當且僅當時,取得最小值

3.周期性

定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得當取定義域內(nèi)的每一個值時,

都有,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.

由此可知,都是這兩個函數(shù)的周期.

對于一個周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

根據(jù)上述定義,可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

()為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱

()為偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對稱

5.對稱性

正弦函數(shù)的對稱中心是,

對稱軸是直線;

余弦函數(shù)的對稱中心是,

對稱軸是直線

(正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).

6.單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增大到;在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.

四、典例分析、舉一反三

題型一 正、余弦函數(shù)的周期性

例1 求下列三角函數(shù)的最小正周期:

(1)y=3cos x,x∈R; (2)y=sin 2x,x∈R;

(3)y=2sin(),x∈R; (4)y=|cos x|,x∈R.

【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.

【解析】:(1)因為3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=3cos x的最小正周期為2π.

(2)因為sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=sin2x的最小正周期為π.

(3)因為,所以由周期函數(shù)的定義知,的最小正周期為4π.

(4)y=|cos x|的圖象如圖(實線部分)所示.由圖象可知,y=|cos x|的最小正周期為π.

解題技巧：（求函數(shù)最小正周期的常用方法）

(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．

(2)公式法，對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝.

(3)圖象法，即通過畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可．

三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓?

跟蹤訓練一

1.（1）函數(shù)y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是( )

(A) (B) (C) (D)π

(2)函數(shù)y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期為 .

【答案】(1)B；(2) ．

【解析】 (2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的圖象(如圖所示).

由圖象可知,函數(shù)y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期為.

題型二 化簡、求值

例2判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);

(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.

【答案】(1)奇函數(shù);(2)偶函數(shù);(3)偶函數(shù);(4)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

【解析】(1)顯然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函數(shù).

(2)因為x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,

所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),

所以函數(shù)f(x)=sin(+)是偶函數(shù).

(3)顯然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),

所以函數(shù)f(x)=sin |x|是偶函數(shù).

(4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),關(guān)于原點對稱,此時f(x)=0,故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

解題技巧：(判斷函數(shù)奇偶性的方法)

判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)利用定義判斷一個函數(shù)f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;②f(-x)與f(x)的關(guān)系;

(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是:①定義法;②圖象法.

跟蹤訓練二

1.下列函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是( )

(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)

(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)

【答案】B

【解析】 A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,為偶函數(shù);C,D中,函數(shù)為非奇非偶函數(shù);B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函數(shù),T==π,故選B.

2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，f(x)＝sin x，則f 等于 ( )

A．－ B．1 C．－ D．

【答案】D

【解析】因為f(x)的最小正周期為T＝π，

所以f ＝f ＝f ，

又y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．

所以f ＝f ＝f ＝sin＝.

題型三 正、余弦函數(shù)的單調(diào)性

例3求函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】略.

【解析】當-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+,+](k∈Z).當+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[+,+](k∈Z).

解題技巧：（求單調(diào)區(qū)間的步驟）

(1)用“基本函數(shù)法”求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或

y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

第一步：寫出基本函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x)的相應單調(diào)區(qū)間；

第二步：將“ωx＋φ”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解關(guān)于x的不等式．

(2)對于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當ω＜0時，可先用誘導公式轉(zhuǎn)化為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是k∈Z這一條件不能省略．

跟蹤訓練三

1．求函數(shù)y＝2sin的單調(diào)增區(qū)間．

【答案】略.

【解析】y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，則y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增區(qū)間，即求y＝sin z的減區(qū)間，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)，

即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以y＝2sin的單調(diào)增區(qū)間是(k∈Z)．

題型四 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用

例4 比較下列各組中函數(shù)值的大小：

（1）cos與cos；

(2)sin 194與cos 160.

【答案】（1）cos＜cos；（2）sin 194＞cos 160.

【解析】（1）cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

∵π＜＜＜2π，且函數(shù)y＝cos x在[π，2π]上單調(diào)遞增，

∴cos＜cos，即cos＜cos.

(2)sin 194＝sin(180＋14)＝－sin 14，

cos 160＝cos(180－20)＝－cos 20＝－sin70.

∵0＜14＜70＜90，且函數(shù)y＝sin x在0＜x＜90時單調(diào)遞增，∴sin 14＜sin 70.

從而－sin 14＞－sin 70，即sin 194＞cos160.

解題方法（比較兩個三角函數(shù)值的大小）

(1)比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．

(2)比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．

(3)已知正(余)弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．

跟蹤訓練四

1．下列結(jié)論正確的是 ( )

A．sin400>sin 50 B．sin 220

C．cos130>cos 200 D．cos(－40)

【答案】C.

【解析】由cos 130＝cos(180－50)＝－cos50，cos 200＝cos(180＋20)＝－cos 20，因為當0－cos20，即cos 130>cos 200.

題型五 正、余弦函數(shù)的值域與最值問題

例5 求下列函數(shù)的值域:

(1)y=cos(x+),x∈[0,];

(2)y=cos2x-4cosx+5.

【答案】（1）[-,] ；（2）[2,10].

【解析】(1)由x∈[0,]可得

x+∈[,],

函數(shù)y=cos x在區(qū)間[,]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的值域為[-,].

(2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,

則-1≤t≤1.

y=t2-4t+5=(,

當t=-1時,函數(shù)取得t-2)2+1最大值10;

t=1時,函數(shù)取得最小值2,所以函數(shù)的值域為[2,10].

解題方法（三角函數(shù)的值域問題解題思路）