用二分法求方程的近似解（2）

本節(jié)通過學習用二分法求方程近似解的的方法，使學生體會函數(shù)與方程之間的關系，通過一些函數(shù)模型的實例，讓學生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的廣泛應用，進一步認識到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，能初步運用函數(shù)思想解決一些生活中的簡單問題。

課程目標

1.了解二分法的原理及其適用條件.

2.掌握二分法的實施步驟.

3.通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：二分法的概念；

2.邏輯推理：用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟；

3.數(shù)學運算：求函數(shù)零點近似值；

4.數(shù)學建模：通過一些函數(shù)模型的實例，讓學生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的廣泛應用.

重點：利用二分法求方程的近似解；

難點：利用二分法求方程的近似解．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

通過前面一節(jié)課的學習，函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6在區(qū)間內(nèi)有零點；進一步的問題是，如何找到這個零點呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

一個直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。

取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區(qū)間（2.5，3）內(nèi)；

再取區(qū)間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內(nèi)；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在范圍確實越來越小了；重復上述步驟，那么零點所在范圍會越來越小，這樣在有限次重復相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值，特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如，當精確度為0.01時，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我們可以將x=2.54作為函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6零點的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。

這種求零點近似值的方法叫做二分法。

二、預習課本，引入新課

閱讀課本144-145頁，思考并完成以下問題

1. 二分法的定義是什么？用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟是什么？？

2. 利用二分法求方程的近似解時，函數(shù)零點所在的區(qū)間應滿足什么條件？如何根據(jù)精確度確定符合要求的近似值.

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．二分法的概念

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

[點睛] 二分就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過不斷逼近的辦法，找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點．

2．用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟

給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：

第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε.

第二步，求區(qū)間(a，b)的中點c.

第三步，計算f(c)：

(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；

(2)若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；

(3)若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．

第四步，判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)，否則重復第二至四步．

四、典例分析、舉一反三

題型一 二分法概念的理解

例1 下列圖象所表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是 （ ）

【答案】C．

【解析】A中，函數(shù)無零點．B和D中，函數(shù)有零點，但它們均是不變號零點，因此它們都不能用二分法來求零點．而在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點，并且其零點為變號零點，故選C.

解題技巧：（二分法的適用條件）

判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．

跟蹤訓練一

1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求

解的個數(shù)分別為 ( )

A．4,4 B．3,4

C．5,4 D．4,3

【答案】D

【解析】圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數(shù)為3，故選D.

題型二 用二分法求方程的近似解

例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負零點(精確度0.1).

【答案】-2.25

【解析】由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算,列表如下:

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.0625<0.1,所以函數(shù)的一個近似負零點可取-2.25.

解題技巧：（用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則及求解流程圖）

1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則:

(1)依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m,n](這個區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區(qū)間的端點盡量為整數(shù)).

(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個過程中應及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數(shù)零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法).