用二分法求方程的近似解（2）

本節(jié)通過學(xué)習(xí)用二分法求方程近似解的的方法，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，通過一些函數(shù)模型的實(shí)例，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，能初步運(yùn)用函數(shù)思想解決一些生活中的簡單問題。

課程目標(biāo)

1.了解二分法的原理及其適用條件.

2.掌握二分法的實(shí)施步驟.

3.通過用二分法求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí).

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：二分法的概念；

2.邏輯推理：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)零點(diǎn)近似值；

4.數(shù)學(xué)建模：通過一些函數(shù)模型的實(shí)例，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用.

重點(diǎn)：利用二分法求方程的近似解；

難點(diǎn)：利用二分法求方程的近似解．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

通過前面一節(jié)課的學(xué)習(xí)，函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；進(jìn)一步的問題是，如何找到這個(gè)零點(diǎn)呢？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

一個(gè)直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值；為了方便，我們通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍。

取區(qū)間（2，3）的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得f(2.5)≈－0.084,因?yàn)閒(2.5)*f(3)＜0,所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.5，3）內(nèi)；

再取區(qū)間（2.5，3）的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f(2.75)≈0.512,因?yàn)閒(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點(diǎn)在（2.5，2.75）內(nèi)；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點(diǎn)所在范圍確實(shí)越來越小了；重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在范圍會(huì)越來越小，這樣在有限次重復(fù)相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點(diǎn)所在區(qū)間上任意的一點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值，特別地可以將區(qū)間的端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值。例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我們可以將x=2.54作為函數(shù)f(x)=㏑x＋2x－6零點(diǎn)的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。

這種求零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本144-145頁，思考并完成以下問題

1. 二分法的定義是什么？用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟是什么？？

2. 利用二分法求方程的近似解時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間應(yīng)滿足什么條件？如何根據(jù)精確度確定符合要求的近似值.

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．二分法的概念

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．

[點(diǎn)睛] 二分就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過不斷逼近的辦法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．

2．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：

第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0，給定精確度ε.

第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.

第三步，計(jì)算f(c)：

(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；

(3)若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．

第四步，判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)，否則重復(fù)第二至四步．

四、典例分析、舉一反三

題型一 二分法概念的理解

例1 下列圖象所表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是 （ ）

【答案】C．

【解析】A中，函數(shù)無零點(diǎn)．B和D中，函數(shù)有零點(diǎn)，但它們均是不變號零點(diǎn)，因此它們都不能用二分法來求零點(diǎn)．而在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號零點(diǎn)，故選C.

解題技巧：（二分法的適用條件）

判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不適用．

跟蹤訓(xùn)練一

1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求

解的個(gè)數(shù)分別為 ( )

A．4,4 B．3,4

C．5,4 D．4,3

【答案】D

【解析】圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點(diǎn)有3個(gè)，所以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3，故選D.

題型二 用二分法求方程的近似解

例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負(fù)零點(diǎn)(精確度0.1).

【答案】-2.25

【解析】由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐次計(jì)算,列表如下:

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.0625<0.1,所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可取-2.25.

解題技巧：（用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則及求解流程圖）

1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則:

(1)依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m,n](這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)).

(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計(jì)算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個(gè)過程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對值是否達(dá)到給定的精確度),才終止計(jì)算,得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值(為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法).