函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解教學(xué)設(shè)計(jì)（2）

本章通過(guò)學(xué)習(xí)用二分法求方程近似解的的方法，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，通過(guò)一些函數(shù)模型的實(shí)例，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過(guò)程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，能初步運(yùn)用函數(shù)思想解決一些生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

課程目標(biāo)

1.了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的聯(lián)系.

2.會(huì)借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.

3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)零點(diǎn)的概念；

2.邏輯推理：借助圖像判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間；

4.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)由抽象到具體，由具體到一般的思想總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)概念.

重點(diǎn)：零點(diǎn)的概念，及零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；

難點(diǎn)：零點(diǎn)的概念的形成．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、情景導(dǎo)入

①方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為 .

②方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為 .

③ 方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為 .

根據(jù)以上結(jié)論，可以得到：

一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的 .

你能將結(jié)論進(jìn)一步推廣到嗎？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本142-143頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1. 函數(shù)零點(diǎn)的定義是什么？

2. 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理要具備哪兩個(gè)條件？

3.方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系是什么?

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1．函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．

[點(diǎn)睛] 函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．

2．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．

3．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0.那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．

[點(diǎn)睛] 定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)f(b)＜0.

四、典例分析、舉一反三

題型一求函數(shù)的零點(diǎn)

例1 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出．

(1)f (x)＝；(2)f (x)＝x2＋2x＋4；

(3)f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x.

【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．

【解析】 (1)令＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)是－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－414＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點(diǎn)．

(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.

所以函數(shù)f(x)＝2x－3的零點(diǎn)是log23.

(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，

所以函數(shù)f(x)＝1－log3x的零點(diǎn)是3.

解題技巧：（函數(shù)零點(diǎn)的求法）

求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過(guò)求方程f(x)=0的根求得函數(shù)的零點(diǎn);二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練一

1．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為( )

A.，0 B．－2,0

C. D．0

【答案】D

【解析】當(dāng)x≤1時(shí)，令2x－1＝0，得x＝0.當(dāng)x＞1時(shí)，令1＋log2x＝0，得x＝，此時(shí)無(wú)解．綜上所述，函數(shù)零點(diǎn)為0.

題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

例2函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(e，＋∞)

【答案】B

【解析】 ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，∴在(1,2)內(nèi)f(x)無(wú)零點(diǎn)，A錯(cuò)；

又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．

解題技巧：（判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3個(gè)步驟）

(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．

(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．

(3)結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)

連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

跟蹤訓(xùn)練二

1.若函數(shù)f(x)＝x＋(a∈R)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則a的值可能是( )

A．－2 B．0 C．1 D．3

【答案】A

【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)a＝－2時(shí)，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，同理，其他選項(xiàng)不符合，選A.

題型三判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例3判斷函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【答案】有一個(gè)零點(diǎn)

【解析】[法一圖象法]

函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為lnx＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為

函數(shù)y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)．

由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，從而ln x＋x2－3＝0有一個(gè)根，

即函數(shù)y＝ln x＋x2－3有一個(gè)零點(diǎn)．

[法二判定定理法]

由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，