二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

《數(shù)學(xué)1必修本（A版）》的第五章4.5.2用二分法求方程的近似解．本節(jié)課要求學(xué)生根據(jù)具體的函數(shù)圖象能夠借助計(jì)算機(jī)或信息技術(shù)工具計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；它既是本冊(cè)書(shū)中的重點(diǎn)內(nèi)容，又是對(duì)函數(shù)知識(shí)的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應(yīng)用，同時(shí)又為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎(chǔ)，因此決定了它的重要地位．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

課件教案

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1.通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其使用條件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解．

3.會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，從而求得方程的近似解．

a.數(shù)學(xué)抽象：二分法的概念；

b.邏輯推理：運(yùn)用二分法求近似解的原理；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二分法求具體方程的近似解；

d.直觀想象：運(yùn)用函數(shù)圖像理解二分法的原理；

e.數(shù)學(xué)建模：體會(huì)二分法中的算法思想；

教學(xué)重點(diǎn)：用“二分法”求方程的近似解

教學(xué)難點(diǎn)：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．

多媒體

教學(xué)過(guò)程

設(shè)計(jì)意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

1．函數(shù)的零點(diǎn):使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)（zero point）

2、零點(diǎn)存在判定法則

提出問(wèn)題我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（２，３）

內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何求出這個(gè)零點(diǎn)呢？

（二）問(wèn)題探究

一個(gè)直觀的想法是：如果能將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點(diǎn)的近似值．為了方便，可以通過(guò)取區(qū)間中點(diǎn)的方法，逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍．取區(qū)間（２，３）的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因?yàn)閒（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零點(diǎn)在區(qū)間（ 2.5 ，３）內(nèi)．

再取區(qū)間（ 2.5 ，３）的中點(diǎn)2.75 ，用計(jì)算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因?yàn)閒（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零點(diǎn)在區(qū)間（ 2.5 ， 2.75 ）內(nèi)．

由于（２，３）（2.5，３）（2.5，2.75），所以零點(diǎn)所在的范圍變小了．如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來(lái)越小,這樣，我們就可以通過(guò)有限次重復(fù)相同的步驟，將零點(diǎn)所在范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值．為了方便，我們把區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值．

概念解析：1．二分法的定義

對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)_f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．

思考：若函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)有零點(diǎn)，該零點(diǎn)是否一定能用二分法求解？

連續(xù)不斷；f(a)f(b)<0；一分為二；零點(diǎn)

[提示] 二分法只適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(即函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反)，因此函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)的零點(diǎn)不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．

2．二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

f(a)f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε

1．思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )

(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點(diǎn)．( )

(3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，每次等分區(qū)間后，

零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)．( )

[答案] (1) (2) (3)

2．用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為0.001，則結(jié)束計(jì)算的條件是( )

A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001

B [據(jù)二分法的步驟知當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度|b－a|小于精確度ε時(shí)，便可結(jié)束計(jì)算．]

3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點(diǎn)是________．

x3 [∵x3左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào)，故其不能用二分法求解．]

4．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________.

例1.借助信息技術(shù)，用二分法求方程+3x=７的近似解（精確度為0.1）．

解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù)的圖象并列出它的對(duì)應(yīng)值表;

觀察圖或表，可知f（１）f（２）＜０，說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間（１，２）內(nèi)存在零點(diǎn)．取區(qū)間（１，２）的中點(diǎn)＝１．５，用信息技術(shù)算得f（1.5）≈0.33．因?yàn)閒（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）．再取區(qū)間（１，1.5）的中點(diǎn)＝1.25，用信息技術(shù)算得f（1.25）≈－0.87．因?yàn)閒（1.25）f（1.5）＜０，所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，

所以，原方程的近似解可取為1.375 ．

口訣：周而復(fù)始怎么辦? 精確度上來(lái)判斷.定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看.同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間.

通過(guò)零點(diǎn)和零點(diǎn)判定定理的回顧，提出新的問(wèn)題，提出運(yùn)用函數(shù)求解方程近似解的思路；培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。