二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計（1）

《數(shù)學(xué)1必修本（A版）》的第五章4.5.2用二分法求方程的近似解．本節(jié)課要求學(xué)生根據(jù)具體的函數(shù)圖象能夠借助計算機或信息技術(shù)工具計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；它既是本冊書中的重點內(nèi)容，又是對函數(shù)知識的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應(yīng)用，同時又為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎(chǔ)，因此決定了它的重要地位．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

課件教案

課程目標

學(xué)科素養(yǎng)

1.通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計算器用二分法求方程的近似解．

3.會用二分法求一個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點，從而求得方程的近似解．

a.數(shù)學(xué)抽象：二分法的概念；

b.邏輯推理：運用二分法求近似解的原理；

c.數(shù)學(xué)運算：運用二分法求具體方程的近似解；

d.直觀想象：運用函數(shù)圖像理解二分法的原理；

e.數(shù)學(xué)建模：體會二分法中的算法思想；

教學(xué)重點：用“二分法”求方程的近似解

教學(xué)難點：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．

多媒體

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

1．函數(shù)的零點:使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點（zero point）

2、零點存在判定法則

提出問題我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（２，３）

內(nèi)存在一個零點．進一步的問題是，如何求出這個零點呢？

（二）問題探究

一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值．為了方便，可以通過取區(qū)間中點的方法，逐步縮小零點所在的范圍．取區(qū)間（２，３）的中點2.5，用計算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因為f（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零點在區(qū)間（ 2.5 ，３）內(nèi)．

再取區(qū)間（ 2.5 ，３）的中點2.75 ，用計算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因為f（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零點在區(qū)間（ 2.5 ， 2.75 ）內(nèi)．

由于（２，３）（2.5，３）（2.5，2.75），所以零點所在的范圍變小了．如果重復(fù)上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小,這樣，我們就可以通過有限次重復(fù)相同的步驟，將零點所在范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值．為了方便，我們把區(qū)間的一個端點作為零點的近似值．

概念解析：1．二分法的定義

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)_f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

思考：若函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)有零點，該零點是否一定能用二分法求解？

連續(xù)不斷；f(a)f(b)<0；一分為二；零點

[提示] 二分法只適用于函數(shù)的變號零點(即函數(shù)在零點兩側(cè)符號相反)，因此函數(shù)在零點兩側(cè)同號的零點不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零點就不能用二分法求解．

2．二分法求函數(shù)零點近似值的步驟

f(a)f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε

1．思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )

(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點．( )

(3)用二分法求函數(shù)零點的近似值時，每次等分區(qū)間后，

零點必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)．( )

[答案] (1) (2) (3)

2．用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點時，精確度為0.001，則結(jié)束計算的條件是( )

A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001

B [據(jù)二分法的步驟知當區(qū)間長度|b－a|小于精確度ε時，便可結(jié)束計算．]

3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點是________．

x3 [∵x3左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，故其不能用二分法求解．]

4．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應(yīng)計算________.

例1.借助信息技術(shù)，用二分法求方程+3x=７的近似解（精確度為0.1）．

解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技術(shù)畫出函數(shù)的圖象并列出它的對應(yīng)值表;

觀察圖或表，可知f（１）f（２）＜０，說明該函數(shù)在區(qū)間（１，２）內(nèi)存在零點．取區(qū)間（１，２）的中點＝１．５，用信息技術(shù)算得f（1.5）≈0.33．因為f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）．再取區(qū)間（１，1.5）的中點＝1.25，用信息技術(shù)算得f（1.25）≈－0.87．因為f（1.25）f（1.5）＜０，所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，

所以，原方程的近似解可取為1.375 ．

口訣：周而復(fù)始怎么辦? 精確度上來判斷.定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看.同號去，異號算，零點落在異號間.

通過零點和零點判定定理的回顧，提出新的問題，提出運用函數(shù)求解方程近似解的思路；培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。