排列與排列數(shù)教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.

B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計算.

C.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運用排列的相關(guān)知識解一些簡單的排列應(yīng)用題.

1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念

2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運算：運用排列數(shù)解決計數(shù)問題

4.數(shù)學(xué)建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為排列問題

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、溫故知新

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.

2.區(qū)別

問題1. 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動.

分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，另1名參加下午的活動”，可以分兩個步驟：

第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；

第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為32=6.

問題如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，則問題可敘述為：從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？

問題2. 從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

分析：從4個數(shù)中每次取出三個按“百位、十位、個位” 的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)，可以分三個步驟解決：

第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個數(shù)中任取一個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個數(shù)字中取，有3種方法；第3步，確定個位上的數(shù)字，只能從余下的2個數(shù)字中取，有2種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1、2、3、4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按百位、十位、個位的順序排成一列，不同的排列方法為432=24

因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示

同樣，問題2可以歸結(jié)為：

從4個不同的元素中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是

不同的排列方法為432=24

上述問題1,2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

一、排列的相關(guān)概念

1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

名師點析理解排列應(yīng)注意的問題

(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.

(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.

1.下列問題中:

①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;

②10位同學(xué)互通一次電話;

③10位同學(xué)互通一封信;

④10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.

屬于排列的有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

二、典例解析

例1. 某省中學(xué)足球隊賽預(yù)選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？

分析：每組任意2支隊之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.

解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分步乘法計數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為

65=30.

例2. （1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？

（2）學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？

分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個位置（給3名同學(xué)）的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.

解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

543=60.

（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；

最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.

按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

555=125.

二、排列數(shù)與排列數(shù)公式

1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做

從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號表示.

2.排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,這里m,n∈N^*,并且m≤n.

3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時,排列數(shù)公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)…321.也就是說,將n個不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成=n!.另外,我們規(guī)定,0!=1.

問題3. 你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?

“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).

例4.用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

分析：在0~9這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。

解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：

第1步，確定百位上的數(shù)字可以從1~9這9個數(shù)字中取出1個，有種取法；第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)中取2個, 有種取法；如圖

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為 998648.

解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個數(shù)字中取出3個，有種取法；第2類，個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)中取出2個放在百位和十位，有種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有種取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,所求三位數(shù)的個數(shù)為=987+98+98=648.

解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為，其中0在百位上的排列數(shù)為，它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，

即所求三位數(shù)的個數(shù)為109898648.

1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.

2.元素分析法最基本,位置分析法對重要元素區(qū)別對待,間接法對對立面比較容易求解的題目特別實用.

跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?

通過引導(dǎo)學(xué)生回顧計數(shù)原理，進(jìn)一步比較分析加深對兩個計數(shù)原理得理解。

通過具體問題，分析、比較、歸納出對排列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉排列和排列數(shù)的概念，進(jìn)而靈活運用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為( )

A.5 B.10 C.20 D.60

解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù),即共有 =20(種)不同的送書方法.

答案:C

2.設(shè)m∈N^*,且m<15,則=( )

A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

解析: 是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).

答案:C

3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有( )

A.24種 B.144種 C.48種 D.96種

解析:第1步,先安排甲有種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有種不同的演出順序;第3步,安排剩余的三個演員有種不同的演出順序.根據(jù)分步計數(shù)原理,共有=96(種)不同的演出順序.故選D.

答案:D

4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有 種不同的種法.

解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題,所以不同的種法共有 =8765=1 680(種).

答案:1 680

5.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個?

(2)這些四位數(shù)中大于6 500的有多少個?

解:(1)偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6,有種排法,其他位上有種排法,由分步乘法計數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)=360(個);能被5整除的數(shù)個位必須是5,故有=120(個).

(2)最高位上是7時大于6 500,有種,最高位上是6時,百位上只能是7或5,故有2種.由分類加法計數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6 500的共有+2=160(個).

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。