條件概率教學設(shè)計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.通過實例,了解條件概率的概念；

B.掌握求條件概率的兩種方法；

C.能利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題；

D.通過條件概率的形成過程,體會由特殊到一般的思維方法.

1.數(shù)學抽象：條件概率的概念

2.邏輯推理：條件概率公式的推導

3.數(shù)學運算：運用條件概率公式計算概率

4.數(shù)學建模：將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為條件概率

教學過程

教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

在必修“概率” 一章的學習中，我們遇到過求同一實驗中兩個事件A與B同時發(fā)生（積事件AB）的概率的問題，當事件A與B相互獨立時,有

如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢？下面我們從具體問題入手.

二、新知探究

問題1 . 某個班級有45名學生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人數(shù)如表所示，

在班級里隨機選一人做代表，

（1）選到男生的概率是多大？

（2）如果已知選到的是團員，那么選到的是男生的概率是多大？

隨機選擇一人作代表，則樣本空間??包含45個等可能的樣本點.用A表示事件“選到團員”， B表示事件“選到男生” ，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出

（1）根據(jù)古典概型知識可知選到男生的概率

P(B)

（2）“在選擇團員的條件下,選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A）.此時相當以A為樣本空間來考慮B發(fā)生概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含了樣本點數(shù)根據(jù)古典概型知識可知：P（B|A）
問題2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭，隨機選一個家庭，那么
（1）該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？

觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩,則樣本空間且所有樣本點是等可能的.用A表示事件“選擇家庭中有女孩” ，B表示事件“選擇家庭中兩個孩子都是女孩” ，A B

（1）根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個小孩都是女孩的概率

P(B)

（2）“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A），此時A成為樣本空間，事件B就是積事件AB，根據(jù)古典概型知識可知

P（B|A）

分析：求P（B|A）的一般思想

因為已經(jīng)知道事件A 必然發(fā)生，所以只需在A 發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題，即現(xiàn)在的樣本空間為A.因為在事件A發(fā)生的情況下事件B 發(fā)生，等價于事件A 和事件 B 同時發(fā)生，

即AB發(fā)生.所以事件A 發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的概率

P（B|A）

為了把這個式子推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為W，則有

P（B|A）

一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(B|A),

而且P(B|A)=.

問題1. 如何判斷條件概率?

題目中出現(xiàn)“在已知……前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等關(guān)鍵詞,表明這個前提已成立或條件已發(fā)生,此時通常涉及條件概率.

問題2. P(B|A)與P(A|B)的區(qū)別是什么?

P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率.

P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率.

條件概率與事件獨立性的關(guān)系

探究1：在問題1和問題2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）與P（B）不一定相等。如果P（B|A）與P（B）相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？

直觀上看，當事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，

這等價于P（B|A）=P（B）成立.

探究2：對于任意兩個事件A與B，如果已知P（A）與P（B|A），如何計算P（AB）呢？

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.

我們稱上式為概率的乘法公式（multiplication formula）.

條件概率的性質(zhì)

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).

設(shè)P（A）>0，則

（1）P（Ω|A）=1；

（2）如果B和C是兩個互斥事件，則P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；

三、典例解析

例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.求:

(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率.

解法1：設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”，B=“第2次抽到幾何題”。

（1）“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試題中每次不放回地隨機抽取2道，試驗的樣本空間Ω包含20個等可能的樣本點，即。

因為n(AB)=

P（AB）

（2）“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。顯然P（A）=.利用條件概率公式，得P（B|A）

解法2：在縮小的樣本空間A上求P（B|A）.已知第1次抽到代數(shù)題，這時還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為P（B|A）=

又P（A）= ，利用乘法公式可得

P（AB）=P（A） P（B|A）

從例1可知，求條件概率有兩種方法：

方法一：基于樣本空間Ω，先計算P（A）和P（AB），再利用條件概率公式求P（B|A）；

方法二：根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P（B|A）就是以A為樣本空間計算AB的概率。

例2：已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學依次不放回地各隨機抽取1張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關(guān)嗎？

：用A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則B=

因為P(A)= P(B)= P(C),所以中獎的概率與抽獎的次序無關(guān)。

例3: 銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了碼的最后1位數(shù)字.求：

（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；

（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率。

因此，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率為.

跟蹤訓練1.一個盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管,任取兩次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

解:方法一(定義法)

設(shè)A_i={第i只是好的}(i=1,2).由題意知要求出P(A₂|A₁).因為P(A₁)=,P(A₁A₂)=,

所以P(A₂|A₁)=.

方法二(直接法)

因為事件A₁已發(fā)生(已知),故我們只研究事件A₂發(fā)生便可,在A₁發(fā)生的條件下,盒中僅剩9只晶體管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A₂|A₁)=.

開門見山，提出問題.

通過生活中的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而建立條件概率的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

讓學生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得條件概率概念的過程。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過概念辨析，讓學生深化對條件概率的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，讓學生體會利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)學模型在數(shù)學應(yīng)用中的價值。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

解析:P(B|A)=.

答案:A

2.下列說法正確的是( )

A.P(A|B)=P(B|A)

B.P(B|A)>1

C.P(A∩B)=P(A)P(B|A)

D.P((A∩B)|A)=P(B)

解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)P(B|A).

答案:C

3.設(shè)A,B為兩個事件,若事件A和B同時發(fā)生的概率為,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為,則事件A發(fā)生的概率為 .

4.某氣象臺統(tǒng)計,該地區(qū)下雨的概率為,刮四級以上風的概率為,既刮四級以上的風又下雨的概率為.設(shè)A為下雨,B為刮四級以上的風,求P(B|A).

解:由題意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=.

5.在100件產(chǎn)品中,有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取1件產(chǎn)品.試求:

(1)第一次取到不合格品的概率;

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

分析:由題意可知,100件產(chǎn)品中共有5件不合格品,不合格率為.在第一次取到不合格品的條件下,第二次又取到不合格品的概率為條件概率.

解:設(shè)第一次取到不合格品為事件A,第二次取到不合格品為事件B,則有:

(1)P(A)==0.05.

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,還剩下99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率為,由于這是一個條件概率,所以P(B|A)=

方法二:根據(jù)條件概率的定義,先求出事件A,B同時發(fā)生的概率P(AB)=,

所以P(B|A)=.

6.在某次考試中,要從20道題中隨機地抽出6道題,若考生至少答對其中的4道題即可通過;若至少答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.

解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題而另一道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題而另2道題答錯”,事件D為“該考生在這次考試中通過”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

=,P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)

=,即所求概率為

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。