一元線性回歸模型及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 能通過具體實例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.

b.通過對具體問題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運算能力.

c.能通過實例說明決定系數(shù)R2的意義和作用，提高數(shù)據(jù)分析能力。

1.數(shù)學(xué)抽象：一元線性回歸模型

2.邏輯推理：最小二乘法與回歸方程

3.數(shù)學(xué)運算：求決定系數(shù)

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強弱等.

如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.

二、探究新知

探究1:生活經(jīng)驗告訴我們,兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說,父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.

可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高

探究2. 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？

表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個觀測中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.

探究3：從成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條直線附近表明兒子身高和父親身高有較強的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？

影響兒子身高的因素除父親的身外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)的因素，兒子身高是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.

探究3：由探究3我們知道，正是因為存在這些隨機(jī)的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機(jī)性各種隨機(jī)因素都是獨立的，有些因素又無法量化.你能否考慮到這些隨機(jī)因素的作用，用類似于函數(shù)的表達(dá)式，表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？

如果用x表示父親身高，Y表示兒子的身高，用e表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，所以Y=bx+a.

一元線性回歸模型

用X表示父親身高,Y表示兒子身高,e表示隨機(jī)誤差,假定隨機(jī)誤差e的均值為0,方差為與父親身高無關(guān)的定值σ²，則它們之間的關(guān)系可以表示為, (1)

我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型(simple linear regression model).

其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差,模型中的Y也是隨機(jī)變量,其值雖然不能由變量x的值確定,但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加),前一部分由x所確定,后一部分是隨機(jī)的,如果e=0,那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.

問題1. 你能結(jié)合父親與兒子身高的實例，說明回歸模型①的意義？

可以解釋為父親身高為的所有男大學(xué)生身高組成一個子總體，該子總體的均值為b+a，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.

而對于父親身高為的某一名男大學(xué)生，他的身高y_i并不一定為b+a，它僅是該子總體的一個觀測值，這個觀測值與均值有一個誤差項e_i=y_i －(+a).

問題2.你能結(jié)合具體實例解釋產(chǎn)生模型①中隨機(jī)誤差項的原因嗎？

產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：

（1）除父親身高外,其他可能影響兒子身高的因素,比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等.

（2）在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差.

（3）實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.

與函數(shù)模型不同，回歸模型的參數(shù)一般是無法精確求出的，只能通過成對樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)。參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近.

問題3：為了研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們建立了一元線性回歸模型達(dá)式刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)

系，其中參數(shù)a和b未知，我們能否通過樣本數(shù)據(jù)估計參數(shù)a和b?

問題4.我們怎樣尋找一條“最好”的直線，使得表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最“接近”？

目標(biāo)：從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”

方法：利用點到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度. 我們設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x_1,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n),由y_i=bx_i+a+e_i（i=1,2,…,n)，得|y_i-(bx_i+a)|=|e_i|.顯然|e_i|越小，表示點(x_i,y_i)與點(x_i,bx_i+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點離直線y=bx+a的豎直距離越小。特別地,當(dāng)e_i=0時,表示點(x_i,y_i)在這條直線上.

因此，可以用來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度。

在實際應(yīng)用中,因為絕對值使得計算不方便,所以人們通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和

來刻畫“整體接近程度”

殘差平方和：

求a，b的值,使Q(a,b)最小

在上式中,x_i,y_i(i=1,2,3,…,n)是已知的成對樣本數(shù)據(jù),所以Q由a和b所決定,即它是a和b的函數(shù),因為Q還可以表示為即它是隨機(jī)誤差的平方和,這個和當(dāng)然越小越好,所以我們?nèi)∈?/span>Q達(dá)到最小的a和b的值,作為截距和斜率的估計值。下面利用成對樣本數(shù)據(jù)求使Q取最小值的

上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值

我們將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法．

注意：

1、經(jīng)驗回歸必過.

2、都是估計值.

3 、與r符號相同.

問題5：利用下表的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗回歸方程。

通過信息技術(shù)，計算求得

問題6：當(dāng)x=176時， ,如果一位父親身高為176cm,他兒子長大后身高一定能長到177cm嗎？為什么？

兒子的身高不一定會是177cm，這是因為還有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機(jī)誤差清楚地表達(dá)了這種影響，父親的身高不能完全決定兒子的身高，不過，我們可以作出推測，當(dāng)父親的身高為176cm時，兒子身高一般在177cm左右.

如果把父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個子總體，那么177cm是這個子總體均值的估計值.一般地，

因為E(Y)=bx+a，是bx+a的估計值，所以是E(Y)的估計值.

我們稱y_i為響應(yīng)變量Y的觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的為預(yù)測值.為了研究回歸模型的有效性，定義殘差為=y_i-，殘差是隨機(jī)誤差的估計值，通過對殘差的分析可判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面的工作稱為殘差分析.

例如,對于右表中的第6個觀測,父親身高為172cm,其兒子身高的觀測值為y==176(cm),預(yù)測值為96=0.839172+28.957=173.265(cm),殘差為176-173.265=2.735(cm).類似地,可以得到其他的殘差,如右表所示.

問題7：兒子身高與父親身高的關(guān)系，運用殘差分析所得的一元線性回歸模型的有效性嗎？

殘差圖：作圖時縱坐標(biāo)為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．

觀察表可以看到,殘差有正有負(fù),殘差的絕對值最大是4.413.觀察殘差的散點圖可以發(fā)現(xiàn),殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定,是均值為0、方差為σ²的隨機(jī)變量的觀測值.可見,通過觀察殘差圖可以直觀判新模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè).

一般地,建立經(jīng)驗回歸方程后,通常需要對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析,借助殘差分析還可以對模型進(jìn)行改進(jìn),使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實際的預(yù)測與決策。

問題8：觀察以下四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定？

根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為的隨機(jī)變量的觀測值.

圖（1）顯示殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應(yīng)將時間變量納入模型；

圖（2）顯示殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分；

圖（3）說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；

圖（4）的殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).所以，只有圖(4）滿足一元線性回歸模型對隨機(jī)誤差的假設(shè)。

三、典例解析

例1.經(jīng)驗表明,對于同一樹種,一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時,某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.

解: 以胸徑為橫坐標(biāo),樹高為縱坐標(biāo)作散點圖如下：

散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.

用d表示胸徑,h表示樹高,根據(jù)據(jù)最小二乘法,計算可得經(jīng)驗回歸方程為

根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預(yù)測值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.

以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到下圖.

觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對值最大是 0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi) .可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.

建立線性回歸模型的基本步驟：

(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應(yīng)變量．

(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．

(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．

(4)按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù).

(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.

①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.

②決定系數(shù)R²取值越大，說明模型的擬合效果越好.

需要注意的是：若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗即可.

例2.人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程。

解：以成對數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo),世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點圖,得到下圖，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.

用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄,t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份 ,利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系 . 根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：

將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：

仔細(xì)觀察：從圖中可以看到，經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨勢，請再仔細(xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎?

第一個世界紀(jì)錄所對應(yīng)的散點遠(yuǎn)離經(jīng)驗回歸直線，并且前后兩時間段中的散點都在經(jīng)驗回歸直線的上方，中間時間段的散點都在經(jīng)驗回歸直線的下方.

這說明散點并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.

思考：你能對模型進(jìn)行修改,以使其更好地反映散點的分布特征嗎？

仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征

注意到100m短跑的第一個世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年, 因此可以認(rèn)為散點是集中在曲線y=f(t)=c₁+c₂ln(t-1895)的周圍，其中c₁、c₂為未知參數(shù)，且c₂<0.

用上述函數(shù)刻畫數(shù)據(jù)變化的趨勢,這是一個非線性經(jīng)驗回歸函數(shù),其中c_1，c₂是待定參數(shù),現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)c₁和c₂;令x=ln(t-1895)，則Y=c₂x+c₁對數(shù)據(jù)進(jìn)行變化可得下表：

得到散點圖，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：

我們發(fā)現(xiàn)，散點圖中各散點都非?？拷?/span>②的圖象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②

對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗回歸方程①.

(1).直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色).

（2).殘差分析:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.

Q₂明顯小于Q₁，說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.

（3).利用決定系數(shù)R²刻畫回歸效果.

R²越大，表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好

R²越小，表示殘差平方和越大，即模型擬合效果越差.

①和②的R²分別為0.7325和0.9983說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程。

(4)用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果,事實上,我們還有1968年之后的男子短跑100m世界紀(jì)錄數(shù)據(jù),如表所示

在散點圖中,繪制表中的散點(綠色),再添加經(jīng)驗回歸方程①所對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線(紅色),以及經(jīng)驗回歸方程②所對應(yīng)的經(jīng)驗回歸曲線(藍(lán)色),得到右圖.顯然綠色散點分布在藍(lán)色經(jīng)驗回歸曲線的附近,遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗回歸直線,表明經(jīng)驗回歸方程②對于新數(shù)據(jù)的預(yù)報效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.

思考：在上述問題情境中,男子短跑100m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對數(shù)關(guān)系,能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫這種關(guān)系的強弱嗎?在使用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時,需要注意下列問題:

(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體,例如,根據(jù)我國父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程,不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關(guān)系,同樣,根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程,不能用來描述北方干早地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系。

(2)經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性,例如,根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程,不能用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系。

(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn),一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi),經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果會比較好,超出這個范圍越遠(yuǎn),預(yù)報的效果越差,

(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值,事實上,它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值。建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟：

1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；

2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；

3.通過變換，將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型；

4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；

5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；

6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．

跟蹤訓(xùn)練1.一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了6組觀測數(shù)據(jù)列于表中：

經(jīng)計算得：

線性回歸殘差的平方和:

其中 分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1,2,3,4,5,6.

(1)若用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的回歸方程 (精確到0.1）；

(2)若用非線性回歸模型擬合，求得y關(guān)于x回歸方程為且相關(guān)指數(shù)R²＝0.9522．

①試與(1)中的線性回歸模型相比較，用R²說明哪種模型的擬合效果更好 ?

②用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù).(結(jié)果取整數(shù)).

附：相關(guān)系數(shù)

解:

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

∵0.9398＜0.9522

②＝0.06e^0.2303x＝＝0.06e^0.230335＝0.06e^8.0605≈31670.06≈190（個）

預(yù)測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)為190個．

通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入一元線性回歸模型的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過問題分析，讓學(xué)生理解運用最小二乘法求線性回歸方程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

通過具體的問題情境中的分析，深化對殘差的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析解決，提升學(xué)生對回歸方程的理解和運用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。