二項式系數的性質教學設計

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第三冊》，第六章《計數原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學習二項式系數的性質

本節(jié)是在學習了二項式定理的基礎上，探究二項式系數的性質。由于二項式系數組成的數列就是一個離散型函數，引導學生從函數的角度研究二項式系數的性質，便于建立知識前后聯系，使學生運用利用幾何直觀、數形結合、特殊到一般的數學思想進行思考。

課件教案

研究二項式系數這組特定的性質，對鞏固二項式定理，建立知識間的聯系，進一步認識組合數、進行組合數的計算和變形都有重要作用，對后續(xù)學習微分方程也具有重要地位。

課程目標

學科素養(yǎng)

A.能記住二項式系數的性質,并能靈活運用性質解決相關問題.

B.會用賦值法求二項展開式系數的和,注意區(qū)分項的系數和二項式系數.

1.數學抽象：二項式系數的性質

2.邏輯推理：運用函數的觀點討論二項式系數的單調性

3.數學運算：運用二項式性質解決問題

4.幾何直觀：運用函數圖像討論二項式系數的性質

重點：二項式系數的性質（對稱性、增減性與最大值和各二項式系數的和）；

難點：理解增減性與最大值時，根據n的奇偶性確定相應的分界點；

利用賦值法證明二項式系數的性質，數學思想方法的滲透.

多媒體

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、溫故知新

1．二項式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理．

(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)ⁿ的二項展開式，展開式中一共有______項．

(3)二項式系數：各項的系數____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數．

Caⁿ＋Caⁿ^－¹b＋Caⁿ^－²b²＋…＋Caⁿ^－^kb^k＋…＋Cbⁿ

n＋1 ；C

2．二項展開式的通項公式

(a＋b)ⁿ展開式的第______項叫做二項展開式的通項，記作T_k_＋₁＝______.

k＋1 ；Caⁿ^－^kb^k

二、新知探究

探究1：計算展開式的二項式系數并填入下表

二項式系數:

通過計算、填表、你發(fā)現了什么規(guī)律？

n	的展開式的二項式系數
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

將上表寫成如下形式：

思考：通過上表和上圖，能發(fā)現什么規(guī)律？

展開式的二項式系數

我們還可以從函數的角度分析它們。可看成是以為自變量的函數，其定義域是

我們還可以畫出它的圖像。

例如，當時，

函數()的圖像是7個離散的點，如圖所示。

1.對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即.

2.增減性與最大值

當k<時,隨k的增加而增大;由對稱性可知,當k>時,隨k的增加而減小.當n是偶數時,中間的一項取得最大值;當n是奇數時,中間的兩項相等,且同時取得最大值.

探究2.已知 =

3.各二項式系數的和

令x=1 得=

所以，的展開式的各二項式系數之和為

1. 在(a+b)⁸的展開式中,二項式系數最大的項為 ,在(a+b)⁹的展開式中,二項式系數最大的項為 .

解析:因為(a+b)⁸的展開式中有9項,所以中間一項的二項式系數最大,該項為a⁴b⁴=70a⁴b⁴.

因為(a+b)⁹的展開式中有10項,所以中間兩項的二項式系數最大,這兩項分別為a⁵b⁴=126a⁵b⁴,a⁴b⁵=126a⁴b⁵.

答案:1.70a⁴b⁴ 126a⁵b⁴與126a⁴b⁵

2. A=+…與B=+…的大小關系是( )

A.A>B B.A=B C.A不確定

解析:∵(1+1)ⁿ=+…+=2ⁿ,

(1-1)ⁿ=-…+(-1)ⁿ=0,

∴+…=+…=2^n-1,即A=B.

答案:B

三、典例解析

例3.求證:在的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.

證明:在展開式

=中，

令a=1,b=-1，得

即

因此

即在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.

二項展開式中系數和的求法

(1)對形如(ax+b)ⁿ,(ax²+bx+c)^m(a,b,c∈R,m,n∈N^*)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)ⁿ(a,b∈R,n∈N^*)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.

(2)一般地,若f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),

奇數項系數之和為a₀+a₂+a₄+…=,

偶數項系數之和為a₁+a₃+a₅+…=.

跟蹤訓練1. 在(2x-3y)⁹的展開式中,求:

(1)二項式系數之和;

(2)各項系數之和;

(3)所有奇數項系數之和.

解:設(2x-3y)⁹=a₀x⁹+a₁x⁸y+a₂x⁷y²+…+a₉y⁹.

(1)二項式系數之和為+…+=2⁹=512.

(2)各項系數之和為a₀+a₁+a₂+…+a₉,

令x=1,y=1,

所以a₀+a₁+a₂+…+a₉=(2-3)⁹=-1.

(3)令x=1,y=-1,可得

a₀-a₁+a₂-…-a₉=5⁹,

又a₀+a₁+a₂+…+a₉=-1,

將兩式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈==976 562,

即所有奇數項系數之和為976 562.

例4.已知(1+2x)ⁿ的展開式中第6項與第7項的系數相等,求展開式中二項式系數最大的項和

系數最大的項.

解:T₆=(2x)⁵,T₇=(2x)⁶,依題意有

2⁵=2⁶,解得n=8.

∴在(1+2x)⁸的展開式中,二項式系數最大的項為

T₅=(2x)⁴=1 120x⁴.

設第k+1項的系數最大,則有

解得5≤k≤6.

∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

∴系數最大的項為T₆=1 792x⁵,T₇=1 792x⁶.

求二項展開式中系數的最值的方法

(1)若二項展開式的系數的絕對值與對應二項式系數相等,可轉化為確定二項式系數的最值來解決.

(2)若二項展開式的系數為f(k)=m^g(k)的形式.

如求(a+bx)ⁿ(a,b∈R)的展開式中系數最大的項,一般是采用待定系數法,設其展開式的各項系數分別為A₁,A₂,…,A_n+1,且第k+1項系數

最大,應解出k,即得系數最大的項.

跟蹤訓練2.已知的展開式中,只有第6項的二項式系數最大.

(1)求該展開式中所有有理項的個數;

(2)求該展開式中系數最大的項.