成對數(shù)據(jù)的相關關系教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 理解兩個變量的相關關系的概念；

B．會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系；

D．會根據(jù)相關系數(shù)判斷兩個變量的相關程度．

1.數(shù)學抽象：相關關系

2.邏輯推理：相關系數(shù)公式推導

3.數(shù)學運算：求相關系數(shù)

4.數(shù)學建模：模型化思想

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

我們知道,如果變量y是變量工的函數(shù),那么由x就可以唯一確定y.然而,現(xiàn)實世界中還存在這樣的情況:兩個變量之間有關系,但密切程度又達不到函數(shù)關系的程度.例如,人的體重與身高存在關系,但由一個人的身高值并不能確定他的體重值,那么,該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢?下面我們就來研究這個問題.

二、探究新知

我們知道,一個人的體重與他的身高有關系,一般而言,個子高的人往往體重值較大,個子矮的人往往體重值較小,但身高并不是決定體重的唯一因素,例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素,像這樣,兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系(correlation).

兩個變量具有相關關系的事例在現(xiàn)實中大量存在,例如:

1.子女身高y與父親身高x之間的關系,一般來說,父親的個子高,其子女的個子也會比較高;父親個子矮,其子女的個子也會比較矮,但影響子女身高的因素,除父親身高外還有其他因素,例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.

2.商品銷售收人y與廣告支出x之間的關系,一般來說,廣告支出越多,商品銷售收入越高,但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素,商品銷售收入還與商品質量、居民收入等因素有關。

3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關系,一般來說,汽車保有量增加,空氣污染指數(shù)會上升,但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素,氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素。

4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關系,在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食畝產(chǎn)量就越高,但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因索,糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質量、降水量、田間管理水平等因素的影響。

變量的相關關系

相關關系是一種不確定性關系;相關關系是相對于函數(shù)關系而言的.

像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.

相關關系與函數(shù)關系的異同點

1.下列關系是相關關系的是________．(填序號)

①曲線上的點與該點的坐標之間的關系；

②蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關系；

③森林中同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；

④學生與其學號之間的關系．

②③ 解析：利用相關關系的概念進行判斷．①④中兩個變量之間的關系是一種確定性關系，而②③中的兩個變量之間的關系是不確定的，所以它們具有相關關系．

探究1:在對人體的脂肪的含量和年齡之間關系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù),如表所示,表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結果,它們構成了成對數(shù)據(jù)。

根據(jù)以上數(shù)據(jù),你能推新人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎?

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了統(tǒng)計圖.我們我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖

由散點圖可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系.

變量相關關系的分類

(1)正相關和負相關

如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，

我們就稱這兩個變量正相關.當一個變量的值增加時，

另一個變量的相應值也呈現(xiàn)減少的趨勢，稱這兩個變量負相關.

正相關：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點圖中，若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域。對于兩個變量的這種相關關系，我們稱之為正相關。

負相關：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點圖中，若點散布在從左上角到右下角的區(qū)域。對于兩個變量的這種相關關系，我們稱之為負相關。

①線性相關:散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關系的一種直觀方法.一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關；

②非線性相關:一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.

探究2.通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關關系、是正相關還是負相關、是線性相關還是非線性相關等,散點圖雖然直觀,但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度,也就無法量化兩個變量之間相關程度的大小.能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣,引入一個適當?shù)?/span>“數(shù)字特征”,對成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度進行定量分析呢?

對于變量??和變量??,設經(jīng)過隨機抽樣得到的成對數(shù)據(jù)為(??₁,??₁),(??₂,??₂),?,(??_??,??_??),

將數(shù)據(jù)以為零點進行平移,得到平移后的成對數(shù)據(jù)為：

繪制散點圖為

這時的散點大多數(shù)分布在第一象限、第三象限,大多數(shù)散點的橫、縱坐標同號,顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關所決定的。

探究3：根據(jù)上述分析,你能利用正相關變量和負相關變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后星現(xiàn)的規(guī)律,構造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關還是負相關的數(shù)字特征嗎?

根據(jù)散點圖特征，初步構造統(tǒng)計量.利用散點的

橫縱坐標是否同號,可以構造一個量

一般情形下,L_xy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關; L_xy <0表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關.

問題1: L_xy的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度嗎?

我們發(fā)現(xiàn), L_xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關，所以不能直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關程度的大小.

在研究體重與身高之間的相關程度時,如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米,單位的改變不會改變體重與身高之間的相關程度.

為了消除單位的影響，進一步做“標準化”處理為簡單起見,把上述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為

仿照L_xy的構造,可以得到

分別

樣本相關系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，

它的正負和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：

當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時,另一個數(shù)據(jù)的值通常也變小;當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時,另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大。

當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關；當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時,另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大:當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時,另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小。

樣本相關系數(shù)

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數(shù).

樣本相關系數(shù)r的取值范圍為[-1，1],樣本相關系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關的程度：

當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強;

當|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱.

樣本相關系數(shù)r有時也稱樣本線性相關系數(shù),|r|刻畫了樣本點集中于某條直線的程度.當r=0

時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系，但不排除它們之間有其他相關關系.

三、典例解析

例1.根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個變量是否線性相關,計算樣本相關系數(shù),并推斷它們的相關程度.

參考數(shù)據(jù):

解：先畫出散點圖,如右圖所示觀察散點圖，

可以看出樣本點都集中在一條直線附近，

由此推斷脂肪含量和年齡線性相關.

由樣本相關系數(shù)??≈0.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關，且相關程度很強。脂肪含量與年齡變化趨勢相同.

歸納總結

1．線性相關系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關程度，是定量的方法．與散點圖相比較，線性相關系數(shù)要精細得多，需要注意的是線性相關系數(shù)r的絕對值小，只是說明線性相關程度低，但不一定不相關，可能是非線性相關．

2．利用相關系數(shù)r來檢驗線性相關顯著性水平時，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關較為顯著，否則不顯著．

例2. 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如表所示.畫出散點圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關，并通過樣本相關系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關程度和變化趨勢的異同.

解：從散點圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性相關關系.

例3.在某校高一年級中隨機抽取25名男生,測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如下表所示.

解:通過計算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關系數(shù)分別約為0.34和0.78,都為正相關.其中,臂展與身高的相關程度更高.

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關性?

跟蹤訓練1.由于往屆高三年級數(shù)學學科的學習方式大都是“刷題——講題——再刷題”的模式，效果不理想．某市一中的數(shù)學課堂教改采用了“記題型——刷題——檢測效果”的模式，并記錄了某學生的記題型時間t(單位：h)與檢測效果y的數(shù)據(jù)如表所示.

據(jù)統(tǒng)計表明，y與t之間具有線性相關關系，請用相關系數(shù)r加以說明(若|r|≥0.75，則認為y與t有很強的線性相關關系，否則認為沒有很強的線性相關關系)．

參考公式及數(shù)據(jù)：相關系數(shù)r＝，＝4.3， (y_i－)²＝7.08，(t_i－)(y_i－)＝14，≈14.08.

解：由題得＝＝4，

(t_i－)²＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

所以r＝＝≈0.99>0.75，所以y與t有很強的線性相關關系．

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入相關關系的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過問題分析，讓學生掌握判斷相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別與聯(lián)系。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過具體的問題情境中的分析，深化對相關系數(shù)的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)．

(1)變量之間只有函數(shù)關系，不存在相關關系．( )

(2)兩個變量之間產(chǎn)生相關關系的原因受許多不確定的隨機因素的影響．( )

(3)兩個變量的相關系數(shù)越大，它們的相關程度越強．( )

(4)若相關系數(shù)r＝0，則兩變量x，y之間沒有關系．( )

答案：（1）（3）（4）錯；（2）對

當堂達標

2．下列各圖中所示的兩個變量具有相關關系的是( )

A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)

D 解析：(1)為函數(shù)關系；(2)(3)為相關關系；(4)中，因為點分布得比較分散，兩者之間無相關關系.

3.對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(x_i，y_i)(i＝1,2,3，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(u_i，v_i)(i＝1,2,3，…，10)，得散點圖2，由這兩個散點圖可以斷定( )

A．x與y正相關，u與v正相關 B．x與y正相關，u與v負相關

C．x與y負相關，u與v正相關 D．x與y負相關，u與v負相關

C 解析：由題圖1可知，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點整體呈遞減趨勢，故x與y負相關；

由題圖2可知，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點整體呈遞增趨勢，故u與v正相關．

4．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關系數(shù)r有如下四個選項，其中擬合得最好的模型為( )

A．模型1的相關系數(shù)r為0.75

B．模型2的相關系數(shù)r為0.55

C．模型3的相關系數(shù)r為0.25

D．模型4的相關系數(shù)r為0.90

D 解析：D中相關系數(shù)r的絕對值最接近1，相關性最強，故選D.

5.假設關于某種設備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。