成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念；

B．會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系；

D．會(huì)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度．

1.數(shù)學(xué)抽象：相關(guān)關(guān)系

2.邏輯推理：相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求相關(guān)系數(shù)

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

我們知道,如果變量y是變量工的函數(shù),那么由x就可以唯一確定y.然而,現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況:兩個(gè)變量之間有關(guān)系,但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如,人的體重與身高存在關(guān)系,但由一個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值,那么,該如何刻畫(huà)這兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢?下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

二、探究新知

我們知道,一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系,一般而言,個(gè)子高的人往往體重值較大,個(gè)子矮的人往往體重值較小,但身高并不是決定體重的唯一因素,例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素,像這樣,兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(correlation).

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在,例如:

1.子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系,一般來(lái)說(shuō),父親的個(gè)子高,其子女的個(gè)子也會(huì)比較高;父親個(gè)子矮,其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮,但影響子女身高的因素,除父親身高外還有其他因素,例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.

2.商品銷售收人y與廣告支出x之間的關(guān)系,一般來(lái)說(shuō),廣告支出越多,商品銷售收入越高,但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素,商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)。

3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系,一般來(lái)說(shuō),汽車保有量增加,空氣污染指數(shù)會(huì)上升,但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素,氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素。

4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系,在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食畝產(chǎn)量就越高,但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因索,糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響。

變量的相關(guān)關(guān)系

相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是相對(duì)于函數(shù)關(guān)系而言的.

像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)

1.下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號(hào))

①曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；

②蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；

③森林中同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；

④學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系．

②③ 解析：利用相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行判斷．①④中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而②③中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不確定的，所以它們具有相關(guān)關(guān)系．

探究1:在對(duì)人體的脂肪的含量和年齡之間關(guān)系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表所示,表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果,它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù)。

根據(jù)以上數(shù)據(jù),你能推新人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎?

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖

由散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

變量相關(guān)關(guān)系的分類

(1)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，

我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān).當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，

另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

正相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域。對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為正相關(guān)。

負(fù)相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域。對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為負(fù)相關(guān)。

①線性相關(guān):散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；

②非線性相關(guān):一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

探究2.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等,散點(diǎn)圖雖然直觀,但無(wú)法確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無(wú)法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣,引入一個(gè)適當(dāng)?shù)?/span>“數(shù)字特征”,對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?

對(duì)于變量??和變量??,設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)數(shù)據(jù)為(??₁,??₁),(??₂,??₂),?,(??_??,??_??),

將數(shù)據(jù)以為零點(diǎn)進(jìn)行平移,得到平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)為：

繪制散點(diǎn)圖為

這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限,大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào),顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的。

探究3：根據(jù)上述分析,你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后星現(xiàn)的規(guī)律,構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎?

根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量.利用散點(diǎn)的

橫縱坐標(biāo)是否同號(hào),可以構(gòu)造一個(gè)量

一般情形下,L_xy>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān); L_xy <0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

問(wèn)題1: L_xy的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?

我們發(fā)現(xiàn), L_xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.

在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí),如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米,單位的改變不會(huì)改變體重與身高之間的相關(guān)程度.

為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處理為簡(jiǎn)單起見(jiàn),把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為

仿照L_xy的構(gòu)造,可以得到

分別

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，

它的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征：

當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大。

當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大:當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。

樣本相關(guān)系數(shù)

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：

當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);

當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù),|r|刻畫(huà)了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度.當(dāng)r=0

時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.

三、典例解析

例1.根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.

參考數(shù)據(jù):

解：先畫(huà)出散點(diǎn)圖,如右圖所示觀察散點(diǎn)圖，

可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，

由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

由樣本相關(guān)系數(shù)??≈0.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢(shì)相同.

歸納總結(jié)

1．線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．

2．利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著．

例2. 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如表所示.畫(huà)出散點(diǎn)圖，判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.

解：從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系.

例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如下表所示.

解:通過(guò)計(jì)算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78,都為正相關(guān).其中,臂展與身高的相關(guān)程度更高.

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?

跟蹤訓(xùn)練1.由于往屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式大都是“刷題——講題——再刷題”的模式，效果不理想．某市一中的數(shù)學(xué)課堂教改采用了“記題型——刷題——檢測(cè)效果”的模式，并記錄了某學(xué)生的記題型時(shí)間t(單位：h)與檢測(cè)效果y的數(shù)據(jù)如表所示.

據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明(若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)．

參考公式及數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)r＝，＝4.3， (y_i－)²＝7.08，(t_i－)(y_i－)＝14，≈14.08.

解：由題得＝＝4，

(t_i－)²＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

所以r＝＝≈0.99>0.75，所以y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．

通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入相關(guān)關(guān)系的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生掌握判斷相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)具體的問(wèn)題情境中的分析，深化對(duì)相關(guān)系數(shù)的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)．

(1)變量之間只有函數(shù)關(guān)系，不存在相關(guān)關(guān)系．( )

(2)兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因受許多不確定的隨機(jī)因素的影響．( )

(3)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng)．( )

(4)若相關(guān)系數(shù)r＝0，則兩變量x，y之間沒(méi)有關(guān)系．( )

答案：（1）（3）（4）錯(cuò)；（2）對(duì)

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

2．下列各圖中所示的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是( )

A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)

D 解析：(1)為函數(shù)關(guān)系；(2)(3)為相關(guān)關(guān)系；(4)中，因?yàn)辄c(diǎn)分布得比較分散，兩者之間無(wú)相關(guān)關(guān)系.

3.對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(x_i，y_i)(i＝1,2,3，…，10)，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(u_i，v_i)(i＝1,2,3，…，10)，得散點(diǎn)圖2，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以斷定( )

A．x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C．x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C 解析：由題圖1可知，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，故x與y負(fù)相關(guān)；

由題圖2可知，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，故u與v正相關(guān)．

4．在建立兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r有如下四個(gè)選項(xiàng)，其中擬合得最好的模型為( )

A．模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.75

B．模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.55

C．模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.25

D．模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.90

D 解析：D中相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值最接近1，相關(guān)性最強(qiáng)，故選D.

5.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。