函數的表示法教學設計（2）

課本從引進函數概念開始就比較注重函數的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數的不同表示方法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．特別是在信息技術環(huán)境下，可以使函數在形與數兩方面的結合得到更充分的表現，使學生通過函數的學習更好地體會數形結合這種重要的數學思想方法．因此，在研究函數時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時，又要注意代數刻畫以求思考和表述的精確性．課本將映射作為函數的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化．這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學習，讓學生將更多的精力集中理解函數的概念，同時，也體現了從特殊到一般的思維過程．

課程目標

1、明確函數的三種表示方法；

2、在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；

3、通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用.

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：函數解析法及能由條件求出解析式；

2.邏輯推理：由條件求函數解析式；

3.數學運算：由函數解析式求值及函數解析式的計算；

4.數據分析：利用圖像表示函數；

5.數學建模：由實際問題構建合理的函數模型。

重點：函數的三種表示方法，分段函數的概念.

難點：根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，什么才算“恰當”？分段函數的表示及其圖象．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

初中已經學過函數的三種表示法：列表法、圖像法、解析法，那么這三種表示法定義是？優(yōu)缺點是？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本67-68頁，思考并完成以下問題

1.表示兩個變量之間函數關系的方法有幾種？分別是什么？

2.函數的各種表示法各有什么特點？

3.什么是分段函數？分段函數是一個還是幾個函數？

4.怎樣求分段函數的值？如何畫分段函數的圖象？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1．函數的表示法

2.分段函數

(1)分段函數就是在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數．

(2)分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集．

[點睛] (1)分段函數雖然由幾部分構成，但它仍是一個函數而不是幾個函數．

(2)分段函數的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝其“段”是不等長的．

四、典例分析、舉一反三

題型一 函數的定義

例1某種筆記本的單價是5元，買x (x∈{1，2， 3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數y=f(x) ．

【答案】見解析

【解析】這個函數的定義域是數集{1，2， 3，4，5}.

用解析法可將函數y=f（x）表示為 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}

用列表法可將函數y=f(x)表示為

用圖像法可將函數y=f(x)表示為

解題技巧：（表示函數的注意事項）

1. 函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；

2. 解析法：必須注明函數的定義域；

3 .圖象法：是否連線；

4. 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．

跟蹤訓練一

1．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出．

則f ( g(1))的值為________；當g ( f (x))＝2時，x＝________.

【答案】1 1

【解析】由于函數關系是用表格形式給出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.

題型二 分段函數求值

例2 已知函數f(x)＝

(1)求f 的值；

(2)若f(x)＝ ，求x的值

【答案】(1) (2)

【解析】(1)因為f ＝－2＝－，

所以f ＝f ＝＝.

(2)f(x)＝，若|x|≤1，則|x－1|－2＝，得x＝或x＝－.

因為|x|≤1，所以x的值不存在；

若|x|>1，則＝，得x＝，符合|x|＞1.

所以若f(x)＝，x的值為.

解題技巧：(分段函數求值問題)

1.求分段函數的函數值的方法

（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現 的形式時，應從內到外依次求值.

2.求某條件下自變量的值的方法先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗.

跟蹤訓練二

1.

【答案】－或10

【解析】解析：當x0≤2時，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，

∴x0＝－或x0＝(舍去)；

當x0>2時，f(x0)＝x0，∴x0＝10.

綜上可知，x0＝－或x0＝10.

題型三 求函數解析式

例3 (1)已知f(x+1)=-3x+2,求f(x);

(2)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;

(3)已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).

【答案】見解析

【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.

將x=t-1代入f(x+1)=-3x+2,

得f(t)=-3(t-1)+2=-5t+6,∴f(x)=-5x+6.

(方法二)∵f(x+1)= -3x+2=+2x+1-5x-5+6=-5(x+1)+6,∴f(x)=-5x+6.

(2)設所求的二次函數為f(x)=a+bx+c(a≠0).

∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=a+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,

∴a+b(x+1)+1-(a+bx+1)=2x,

即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質,得

∴∴所求二次函數為f(x)=x2-x+1.

(3)∵對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,

∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x- .

解題技巧：（求函數解析式的四種常用方法）

1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入即可.

2.待定系數法:若已知函數的類型,可用待定系數法求解,即由函數類型設出函數解析式,再根據條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數,進而求出函數解析式.

3.換元法(有時可用“配湊法”):已知函數f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).

4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關于兩個不同變量的函數,而這兩個變量有著某種關系,這時就要依據兩個變量的關系,建立一個新的關于兩個變量的式子,由兩個式子建立方程組,通過解方程組消去一個變量,得到目標變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.

跟蹤訓練三

1.已知f(x)是一次函數,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;

2.已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;

3.設函數f(x)滿足f(x)+2f=x(x≠0),求f(x).

【答案】見解析

【解析】(1)∵f(x)為一次函數,∴可設f(x)=ax+b(a≠0).

∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.

∴解得

故f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.

(2)(方法一)f(+1)=()2+2+1-1=(+1)2-1,其中+1≥1,

故所求函數的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.

(方法二)令+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,

函數f(+1)=x+2可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.

(3)因為對任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f=x成立,

所以對于∈R,且≠0,有f+2f(x)=,

兩式組成方程組

②2-①得,f(x)=.

題型四 函數的圖像及應用

例4 1.函數f(x)＝|x－1|的圖象是( )

2.給定函數,

(1)在同一直角坐標系中畫出函數的圖像；

（2）

.請分別用圖像法和解析法表示函數.

【答案】1.B 2.見解析

【解析】1.法一：函數的解析式可化為y＝畫出此分段函數的圖象，故選B.

法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.

2.（1）同一直角坐標系中函數的圖像

（2）結合的定義，可得函數的圖像

由解得.

由圖易知的解析式為

=

解題方法（函數圖像問題處理措施）

（1）若y=f（x）是已學過的基本初等函數，則描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據定義域進行取舍.

（2）若y=f（x）不是所學過的基本初等函數之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y=f（x）的圖象.

（3）作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.

跟蹤訓練四

1．已知函數f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．

2．若定義運算a⊙b＝則函數f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．

【答案】1.f(x)＝2. (－∞，1]

【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x＜0時，設f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則∴

當0≤x≤1時，設f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.

2.由題意得f(x)＝畫出函數f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．