分類加法計數原理與分步乘法計數原理（1）教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.通過實例能歸納總結出分類加法計數原理與分步乘法計數原理;

B.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.

C.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.

1.數學抽象：兩個計數原理

2.邏輯推理：準確運用兩個計數原理解決問題

3.數學運算：運用計數原理解決計數問題

4.數學建模：將計數問題轉化為分類和分步計數問題

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

計數問題是我們從小就經常遇到的，通過列舉一個一個地數是計數的基本方法，但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高，能否設計巧妙的“數法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數方法.

問題1. 用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

因為英文字母共有26個，阿拉伯數字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.

問題2.你能說說這個問題的特征嗎？

上述計數過程的基本環(huán)節(jié)是：

（1）確定分類標準，根據問題條件分為字母號碼和數字號碼兩類；

（2）分別計算各類號碼的個數；

（3）各類號碼的個數相加，得出所有號碼的個數.

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

一般地，有如下分類加法計數原理：

完成一件事，有兩類辦法. 在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N= m+n種不同的方法.

二、典例解析

例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表，

如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)” .因為這名同學在A,B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數原理的條件.

解：這名同學可以選擇A,B兩所大學中的一所，在A大學中有5種專業(yè)選擇

方法，在B大學中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，所以根據分類加法計數原理，這名同學可能的專業(yè)選擇種數N=5+4=9.

利用分類加法計數原理解題的一般思路

(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;

(2)計數:求出每一類中的方法數;

(3)結論:將每一類中的方法數相加得最終結果.

問題3. 如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有 m₁種不同的方法，在第二類方案中有m₂種不同的方法，在第三類方案中有m₃種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應該如何計數呢？

分類加法計數原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m₁種不同的方法,第二類辦法中有m₂種不同的方法……第n類辦法中有m_n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m₁+m₂+…+m_n種不同的方法.

跟蹤訓練1.在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是( )

A．18 B．36 C．72 D．48

解析：方法一 按十位上的數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個).

方法二 按個位上的數字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個).

方法三 考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決．所有的兩位數共有90個，其中，個位數字等于十位數字的兩位數為11，22，33，…，99，共9個；有10，20，30，…，90共9個兩位數的個位數字與十位數字不能調換位置，則剩余的兩位數有90－18＝72(個).在這72個兩位數中，每一個個位數字(a)小于十位數字(b)的兩位數都有一個十位數字(a)小于個位數字(b)的兩位數與之對應，故滿足條件的兩位數的個數是722＝36.故選B.

答案：B

問題4. 用前6個大寫的英文字母和1~9個阿拉伯數字，以A₁， A₁，…A₉，B₁，B₂，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

解：方法一：解決計數問題可以用“樹狀圖”列舉出來

方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有69=54種不同的號碼.

問題5.你能說說這個問題的特征嗎？

上述計數過程的基本環(huán)節(jié)是：

（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；

（2）分別計算各步號碼的個數；

（3）將各步號碼的個數相乘，得出所有號碼的個數.

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

例2.設某班有男生30名，女生24名。現要從中選出男、女生各一名代表班級參

加比賽，共有多少種不同的選法？

分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步, 選男生；第二步,選女生.

解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；

根據分步計數原理，共有 3024=720種不同方法.

問題6. 如果完成一件事有三個步驟, 做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

N＝m₁m₂m₃

如果完成一件事需要有n個步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應當如何計數呢?

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，…,做第n步有m_n種不同的方法,那么完成這件事的方法總數如何計算？

分步乘法計數原理一般結論：

N＝m₁m₂…m_n

例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第 2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?

(3)從書架上取2本不同學科的書,有多少種不同的取法?

解：（1）根據分類加法計數原理可得：N＝4＋3+2＝9；

（2）根據分步乘法計數原理可得：N＝4 32＝24；

（3）需先分類再分步.

第一類：從一、二層各取一本，有43=12種方法；

第二類：從一、三層各取一本,有42=8種方法；

第三類：從二、三層各取一本,有32=6種方法；

根據兩個基本原理，不同的取法總數是

N=43+42+32=26

答: 從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.

應用分步乘法計數原理解題的一般思路

跟蹤訓練2. 有6名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定6名同學都參加)

(1)每人恰好參加一項，每項人數不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；

(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限．

解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法．

根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為3⁶＝729.

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，

因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法．

根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為654＝120.

(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽．根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為6³＝216.

通過導語，幫助學生回顧計數問題，引出學習課題。

通過具體問題，已發(fā)學生思考，通過分析、比較、歸納、形成對計數原理的認識。發(fā)展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中讓學生熟悉兩個計數原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯系和區(qū)別，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數學參考書4本，從中取出4本贈送給4位學生，每位學生1本，則不同的贈送方法共有( )

A．20種 B．15種 C．10種 D．4種

解析：若4本中有3本語文參考書和1本數學參考書，則有4種方法，若4本中有1本語文參考書和3本數學參考書，則有4種方法，若4本中有2本語文參考書和2本數學參考書，則有6種方法，若4本都是數學參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有4＋4＋6＋1＝15(種).故選B.

答案：B

2.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同的選法的種數是( )

A．5⁶ B．6⁵ C．30 D．11

解析：(1)第一名同學有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學有5種選擇方法，綜上，6名同學共有5⁶種不同的選法．故選A.

3. 4張卡片的正、反面分別標有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成 個不同的三位數.

解析:分三個步驟:

第一步:百位可放8-1=7個數;

第二步:十位可放6個數;

第三步:個位可放4個數.

根據分步乘法計數原理,可以組成N=764=168個不同的三位數.

答案:168

4.如圖所示的電路圖,從A到B共有 條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經過支路①有3種方法;第二類,經過支路②有1種方法;第三類,經過支路③有22=4種方法,所以總的線路條數N=3+1+4=8.

答案:8

5.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C₁,求其中經過3條棱的路線共有多少條?

解:從總體上看有三類方法,分別經過AB,AD,AA₁.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經過AB,有m₁=12=2條;第二類:經過AD,有m₂=12=2條;第三類:經過AA₁,有m₃=12=2條.根據分類加法計數原理,從頂點A到頂點C₁經過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.

6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法?

解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.

方法一:分兩類.

第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有63=18(種)選法.

第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有12=2(種)選法.所以由分類加法計數原理知,共有18+2=20(種)選法.

方法二:設既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.

第一類:甲入選.

(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數原理,有12=2(種)選法;

(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數原理,有16=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).

第二類:甲不入選.

可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數原理,有62=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。