分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；

B．能應用兩個計數(shù)原理解決實際問題.

1.數(shù)學抽象：兩個計數(shù)原理

2.邏輯推理：運用分類思想解決復雜問題

3.數(shù)學運算：運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題

4.數(shù)學建模：將計數(shù)問題轉化為分類和分步計數(shù)問題

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、溫故知新

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.

2.區(qū)別

二、典例解析

例4. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

問共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，

可以分兩個步驟完成:

第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，

第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=32=6.

例5．給程序模塊命名，需要用個字符，其中首字符要求用字母或，后兩個要求用數(shù)字.問最多可以給多少個程序命名？

分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名” ，可以分三個步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，還有首字符又可以分為兩類。

解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為，后兩個字符從中選，因為數(shù)字可以重復，

所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是，

即最多可以給1053個程序命名.

例6. 電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成.問：

（1）一個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符？

（2）計算機漢字國標碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)字” .由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理來求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可.

解：（1）一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示

22222222==256個不同的字符；

（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示256個字符，

∵256<6763，一個字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

2個字節(jié)可以表示256256=65536個不同的字符，

∵65536>6763，所以每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.

例7.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行調試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個技術原理.

解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.

又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為9181=7371.

在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為

18+45+18+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為32=6.
如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/span>172+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.

1.使用兩個原理的原則

使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.

2.應用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟

(1)明確完成的這件事是什么.

(2)思考如何完成這件事.

(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.

(4)選擇計數(shù)原理進行計算.
例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機關代號，第二部分有阿拉伯數(shù)字和英文字母組成的序號如圖，

其中，序號的編碼規(guī)則為：
（1）由10個阿拉伯數(shù)字和除 O,I之外的24個英文字母組成;
（2）最多只能有2個英文字母.
如果某地級市發(fā)牌機關采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放多少張汽車號牌？

典例解析

分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字母，以字母所在位置為分類標準，可將有1個字母的序號，分為五個子類，將有2個字母的序號，分為十個子類.

解：有號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.

（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為1010101010=100000.

（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.
當?shù)?/span>1位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數(shù)字中選一個放在相應的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為：2410101010=240000.
同樣，其余四個子類號牌也各有240000張。

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

（3）當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
當?shù)?/span>1位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為2424101010=576000
同樣其余九個子類號牌也各有576000張
于是這類號牌張數(shù)一共為57600010=5760000

綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為

10000十1200000+5760000=7060000.

解決抽取(分配)問題的方法

(1)當涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.

(2)當涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

歸納總結

跟蹤訓練. 7名學生中有3名學生會下象棋但不會下圍棋,有2名學生會下圍棋但不會下象棋,另2名學生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?

跟蹤訓練

解:第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N₁=32=6(種).

第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N₂=32=6(種).

第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N₃=22=4(種).

第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N₄=2種.

綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N₁+N₂+N₃+N₄=6+6+4+2=18(種).

通過引導學生回顧計數(shù)原理，進一步比較分析加深對兩個計數(shù)原理得理解。

通過具體問題，分析、比較、歸納、加深對兩個計數(shù)原理的認識。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中讓學生熟悉兩個計數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，進而靈活運用兩個計數(shù)原理。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為( )

A.11 B.28 C.16 384 D.2 401

解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有47=28(種)不同的配法.

答案:B

2.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為( )

A.30 B.20 C.10 D.6

解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.

答案:D

3.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有( )

A.50種 B.60種 C.80種 D.90種

解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。